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Lezione 1 — Insiemi numerici, intervalli, notazione

Linguagem matemática rigorosa: insiemi numerici (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ), intervalli, operazioni entre insiemi. Lezione introduttiva do programa.

Used in: 1.º anno della Scuola superiore (15 anos) · Equiv. Math I japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definizione rigorosa

Insiemi numerici fundamentais

"Qualquer número real corresponde a uma posição única na reta numérica. O inverso também é verdadeiro: cada localização na reta numérica corresponde a exatamente um número real." — OpenStax College Algebra 2e, §1.1

Intervalos

Definition· Tipos de intervallo

Para $a, b \in \mathbb{R}$ com $a \leq b$ :

Os quatro tipos de intervallo na reta numérica. Ponto preenchido = estremo incluso. Ponto vazio = estremo escluso.

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}

what this means · Intervalo chiuso: ambos os estremi incluídos.

(a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \lt x \lt b\}

what this means · Intervalo aperto: nenhum estremo incluso.

[a, b) = \{x : a \leq x \lt b\}, \quad (a, b] = \{x : a \lt x \leq b\}

what this means · Intervalos semiabertos.

Intervalos infinitos: $[a, +\infty)$ , $(-\infty, b]$ , $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$ .

Exemplos resolvidos

Example— 1· Listando elementos de um insieme (applicazione)

Problema: Liste, em notazione de chaves, o insieme $A = \{x \in \mathbb{Z} : -2 < x \leq 3\}$ .

Estratégia: O problema pede para listar os elementos de um insieme. A notazione de insieme nos dá duas informações:

A qual insieme numérico os elementos pertencem: $\mathbb{Z}$ (números inteiros).
Quais condições esses elementos devem satisfazer: $-2 < x \leq 3$ . Vamos combinar essas informações para identificar todos os inteiros que se encaixam.

Resolução:

Identificar o tipo de número: Os elementos $x$ devem ser inteiros ( $\mathbb{Z}$ ).
Analisar a primeira condição: $x > -2$ . Isso significa que $x$ deve ser maior que $-2$ . Os inteiros que satisfazem essa parte são $-1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ .
Analisar a segunda condição: $x \leq 3$ . Isso significa que $x$ deve ser menor ou igual a $3$ . Os inteiros que satisfazem essa parte são $\ldots, 1, 2, 3$ .
Combinar as condições: Precisamos de inteiros $x$ $x$ que sejam simultaneamente maiores que $-2$ $- 2$ E menores ou iguais a $3$ $3$ .
- Inteiros maiores que $-2$ : $\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$
- Inteiros menores ou iguais a $3$ : $\{\ldots, -1, 0, 1, 2, 3\}$
- A interseção desses dois insiemi é $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$ .

Verificação: Todos os números listados são inteiros.

$-1$ é maior que $-2$ e menor ou igual a $3$ . (OK)
$0$ é maior que $-2$ e menor ou igual a $3$ . (OK)
$1$ é maior que $-2$ e menor ou igual a $3$ . (OK)
$2$ é maior que $-2$ e menor ou igual a $3$ . (OK)
$3$ é maior que $-2$ e menor ou igual a $3$ . (OK) Nenhum outro inteiro entre $-2$ e $3$ (excluindo $-2$ , incluindo $3$ ) foi deixado de fora.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §1.1 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Interseção de intervalli (intermediário)

Problema: Dados os intervalli $A = [-3, 7)$ e $B = (1, 10]$ , calcule $A \cap B$ .

Estratégia: A interseção de dois insiemi inclui apenas os elementos que pertencem a ambos os insiemi. Novamente, a visualização na reta numérica é a ferramenta mais eficaz.

Resolução:

Visualizar o intervallo $A$ : $A = [-3, 7)$ $A = [- 3, 7)$ vai de -3 (incluso) até 7 (escluso).
```
←—————[----------)————→
     -3          7
```
Visualizar o intervallo $B$ : $B = (1, 10]$ $B = (1, 10]$ vai de 1 (escluso) até 10 (incluso).
```
←——————————(----------]————→
           1          10
```
Combinar para a interseção: Precisamos encontrar a região onde os dois intervalli se sobrepõem.
- O ponto mais à esquerda onde ambos estão presentes: $1$ . Mas $1$ é escluso em $B$ , então ele é escluso na interseção.
- O ponto mais à direita onde ambos estão presentes: $7$ . Mas $7$ é escluso em $A$ , então ele é escluso na interseção.
- A região de sobreposição é entre $1$ (escluso) e $7$ (escluso).

$A \cap B = (1, 7)$

Verificação:

Um ponto na interseção: $x=3$ . Está em $A$ (pois $-3 \leq 3 < 7$ ) e em $B$ (pois $1 < 3 \leq 10$ ). (OK)
Um ponto que está só em $A$ : $x=-2$ . Não está em $B$ . (OK)
Um ponto que está só em $B$ : $x=8$ . Não está em $A$ . (OK)
Os estremi: $1$ não está em $B$ , $7$ não está em $A$ . Ambos excluídos na interseção. A risposta está consistente.

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §1.2 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Inequação com módulo, tipo |u| ≤ c (intermediário)

Problema: Resolva a inequação $|x - 4| \leq 3$ e expresse a soluzione em notazione de intervallo.

Estratégia: Inequações com valor absoluto do tipo $|u| \leq c$ (onde $c > 0$ ) podem ser reescritas como uma inequação composta: $-c \leq u \leq c$ . Aplicaremos essa propriedade e então resolveremos para $x$ .

Resolução:

Reescrever a inequação: A propriedade do valor absoluto nos permite transformar $|x - 4| \leq 3$ em: $-3 \leq x - 4 \leq 3$
Isolar $x$ : Para isolar $x$ , adicionamos $4$ a todas as partes da inequação: $-3 + 4 \leq x - 4 + 4 \leq 3 + 4$ $1 \leq x \leq 7$
Expressar em notazione de intervallo: A inequação $1 \leq x \leq 7$ significa que $x$ pode ser qualquer número real entre 1 e 7, incluindo 1 e 7.

$\text{Solução: } [1, 7]$

Verificação:

Teste um ponto dentro do intervallo: $x=5$ . $|5 - 4| = |1| = 1$ . $1 \leq 3$ . (OK)
Teste um estremo: $x=1$ . $|1 - 4| = |-3| = 3$ . $3 \leq 3$ . (OK)
Teste o outro estremo: $x=7$ . $|7 - 4| = |3| = 3$ . $3 \leq 3$ . (OK)
Teste um ponto fora do intervallo: $x=0$ . $|0 - 4| = |-4| = 4$ . $4 \not\leq 3$ . (OK)
Teste um ponto fora do intervallo: $x=8$ . $|8 - 4| = |4| = 4$ . $4 \not\leq 3$ . (OK) A soluzione está correta.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §1.7 — licença CC-BY 4.0.

Example— 4· Inequação quadrática (avançado)

Problema: Determine o insieme soluzione da inequação $x^2 - x - 6 > 0$ em notazione de intervallo.

Estratégia: Para resolver uma inequação quadrática, primeiro encontramos as raízes da equação quadrática associada ( $x^2 - x - 6 = 0$ ). Essas raízes dividem a reta real em intervalli. Em seguida, testamos um ponto em cada intervallo para ver onde a inequação é satisfeita.

Resolução:

Encontrar as raízes da equação associada: $x^2 - x - 6 = 0$ $x^{2} - x - 6 = 0$ .
- Podemos fatorar a equação: $(x - 3)(x + 2) = 0$ .
- As raízes são $x = 3$ e $x = -2$ .
Dividir a reta real em intervalli: As raízes $-2$ $- 2$ e $3$ $3$ dividem a reta real em três intervalli:
- $(-\infty, -2)$
- $(-2, 3)$
- $(3, +\infty)$
Testar um ponto em cada intervallo:
- Intervalo $(-\infty, -2)$ : Escolha $x = -3$ . $(-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6$ . Como $6 > 0$ , este intervallo satisfaz a inequação.
- Intervalo $(-2, 3)$ : Escolha $x = 0$ . $(0)^2 - (0) - 6 = -6$ . Como $-6 \not> 0$ , este intervallo não satisfaz a inequação.
- Intervalo $(3, +\infty)$ : Escolha $x = 4$ . $(4)^2 - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6$ . Como $6 > 0$ , este intervallo satisfaz a inequação.
Combinar os intervalli que satisfazem: A soluzione é a união dos intervalli onde a inequação é verdadeira. Note que a inequação é estritamente maior que 0, então as raízes não são incluídas.

$\text{Solução: } (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$

Verificação:

A parábola $y = x^2 - x - 6$ tem concavidade para cima (coeficiente de $x^2$ é positivo). Isso significa que os valores da função são positivos "para fora" das raízes e negativos "entre" as raízes. A soluzione encontrada está consistente com o gráfico de uma parábola.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §3.6 — licença CC-BY 4.0.

Example— 5· Modelagem com exclusão de ponto (modellazione real)

Problema: Um sensor de temperatura opera corretamente em um ambiente onde a temperatura $T$ (em Celsius) deve estar entre $10\,°C$ (inclusive) e $40\,°C$ (exclusive). Além disso, por um requisito específico, a temperatura não pode ser exatamente $25\,°C$ . Expresse a faixa de operazione válida para $T$ como uma união de intervalli.

Estratégia: Primeiro, defina o intervallo base de operazione. Em seguida, remova o ponto específico que não é permitido. A remoção de um único ponto de um intervallo pode resultar em dois intervalli disjuntos.

Resolução:

Definir o intervallo base: A temperatura deve estar entre $10\,°C$ (inclusive) e $40\,°C$ (exclusive). Isso é representado pelo intervallo $[10, 40)$ .
Identificar o ponto a ser escluso: A temperatura não pode ser $25\,°C$ .
Remover o ponto do intervallo base: O número $25$ $25$ está dentro do intervallo $[10, 40)$ $[10, 40)$ . Ao remover $25$ $25$ , o intervallo é dividido em duas partes:
- Todos os números de $10$ (inclusive) até $25$ (exclusive): $[10, 25)$ .
- Todos os números de $25$ (exclusive) até $40$ (exclusive): $(25, 40)$ .
Expressar como união de intervalli: A faixa de operazione válida é a união desses dois intervalli disjuntos.

$\text{Faixa de operação: } [10, 25) \cup (25, 40)$

Verificação:

$T=10$ : Válido. Está no primeiro intervallo.
$T=20$ : Válido. Está no primeiro intervallo.
$T=25$ : Não válido. Não está em nenhum dos intervalli.
$T=30$ : Válido. Está no segundo intervallo.
$T=40$ : Não válido. Excluído do intervallo original. A soluzione está correta e atende a todas as condições.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 1 — licença livre.

Exercise list

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Fonti

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os esercizi.

Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · cap. 1.
College Algebra 2e — OpenStax · 2022 · EN · CC-BY · §1.1, §1.7.
Book of Proof — Richard Hammack · 2018 · EN · livre · caps. 1, 3, 6.
Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · cap. 1.
Matemática elementar — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA.

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Insiemi numerici fundamentais

Intervalos

Operações entre insiemi

Exemplos resolvidos

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