Lição 5 — Composição e função inversa

Sejam $f(x) = 3x + 1$ e $g(x) = x^2$. Calcule $(f \circ g)(x)$.

Mesmas $f, g$ do exercício anterior. Calcule $(g \circ f)(x)$ e compare com $(f \circ g)(x)$.

Sejam $f(x) = 2x - 5$ e $g(x) = x^2 + 1$. Calcule $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$.

Para $f(x) = x^2 - 12$ e $g(x) = x + 3$, calcule $(f \circ g)(2)$.

Sejam $f(x) = 3x - 2$ e $g(x) = 1/x$. Calcule $(f \circ g)(x)$, indique o domínio, e avalie $(f \circ g)(2)$ e $(g \circ f)(2)$.

Sejam $f(x) = 1/(x - 2)$ e $g(x) = x + 3$. Calcule $(f \circ g)(x)$ e indique o domínio.

Sejam $f(x) = 3x + 2$ e $g(x) = \sqrt{x}$. Calcule $(f \circ g)(x)$ e determine o domínio.

Sejam $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x^2 - 4$. Determine $(f \circ g)(x)$ e seu domínio.

Para $f(x) = 1/(x+1)$ e $g(x) = 1/(x+1)$, determine o domínio de $(f \circ g)$.

Qual é o domínio de $(f \circ g)(x)$ quando $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x - 2$?

Decomponha $h(x) = (3x + 2)^4$ como composição $f \circ g$ de duas funções mais simples.

Decomponha $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ como composição $f \circ g$.

Decomponha $h(x) = \sqrt{5x + 1}$ como composição de três funções $h_3 \circ h_2 \circ h_1$.

Decomponha $h(x) = \sqrt[3]{1 - x^2}$ como composição $f \circ g$.

Decomponha $h(x) = e^{2x - 5}$ como composição e determine o domínio.

Sejam $f, g$ tais que $(f \circ g)(x) = x^2 + 4x$ e $g(x) = x + 2$. Determine $f(x)$.

Determine $f(x)$ sabendo que $f(x + 1) = 2x^2 + 3x - 1$.

Qual das seguintes decomposições está correta para $h(x) = 1/(x+3)^2$ como composição de três funções $h_3 \circ h_2 \circ h_1$?

Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = 3x + 7$.

Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = (x - 1)/2$.

Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = \sqrt[3]{x + 5}$.

Encontre $f^{-1}(x)$ para $f: [0, +\infty) \to [2, +\infty)$, $f(x) = x^2 + 2$.

Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = (2x + 3)/(x - 1)$, $x \neq 1$.

Verifique que $f(x) = 2x + 4$ e $g(x) = (x - 4)/2$ são inversas calculando $f \circ g$ e $g \circ f$.

$f(x) = x^2$ não é invertível em $\mathbb{R}$. Determine dois domínios restritos diferentes onde $f$ se torna invertível e exiba as duas inversas.

$f(x) = x^2 - 4x + 7$ não é invertível em $\mathbb{R}$. Restrinja o domínio ao ramo crescente natural e determine $f^{-1}$.

Explique geometricamente por que o gráfico de $f^{-1}$ é a reflexão do gráfico de $f$ pela reta $y = x$.

Como se decide graficamente se $f$ admite inversa? Descreva o critério e dê um exemplo de função que passa no critério e um que não passa.

Mostre que $f(x) = a/x$ (com $a \neq 0$, $x \neq 0$) é sua própria inversa. Funções com essa propriedade chamam-se involuções.

Mostre que $f(x) = 1 - x$ é uma involução.

Em logística, custo de envio $C(p) = 30 + 4p$ (R$ por kg). Determine $C^{-1}$: qual peso paga $c$ reais de frete? Para frete R$ 90, qual o peso?

Conversão Celsius → Fahrenheit: $F(C) = (9/5)C + 32$. (a) Determine $F^{-1}$. (b) Calcule a temperatura em °C correspondente a $F = 100\ °F$.

Conversor real-dólar: $D(R) = R/5$ (taxa simplificada). Encontre $D^{-1}$ e calcule quantos reais correspondem a US$ 50.

Normalização z-score: $g(x) = x - \bar{x}$ (centraliza) e $f(y) = y/\sigma$ (escalona). (a) Expresse a composta $(f \circ g)(x)$. (b) Determine a inversa $(f \circ g)^{-1}$ para destransformar previsões do modelo. Atenção à ordem.

Farmacocinética: dose $D$ (mg) produz concentração $C(D) = 0,05\,D$ mg/L. Determine $C^{-1}$: que dose produz concentração $c$? Para $c = 2$ mg/L, qual a dose?

Produto custa $p$ reais. Loja A: $f(p) = 0,9p$ (10% de desconto). Loja B: $g(p) = p - 50$ (R$ 50 fixo). (a) Para $p = 800$: qual paga menos? (b) Para qual $p$ as estratégias têm o mesmo preço?

Piscina com enchimento $V(t) = 80\,t$ litros. Determine $V^{-1}$: quanto tempo para encher $v$ litros? Para 4.000 L?

Conversão em cadeia: US$ → R$ via $f(d) = 5d$ (taxa simplificada); R$ → BTC via $g(r) = r/350\,000$. (a) Modele US$ → BTC como composta $g \circ f$. (b) Determine a inversa BTC → US$. (c) 0,01 BTC equivalem a quantos dólares?

Demonstre que se $f$ é bijetora, então $(f^{-1})^{-1} = f$.

Demonstre que a composição de duas funções injetoras é injetora.

Demonstre que se $f$ e $g$ são bijetoras, então $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$.

Se $f \circ g$ é injetora, prove que $g$ é injetora. A recíproca é verdadeira para $f$? Justifique com contraexemplo.

Cifra de César. Codificação: $E_k(\ell) = (\ell + k) \bmod 26$ para $\ell \in \{0, \ldots, 25\}$ e deslocamento $k$. (a) Determine $E_k^{-1}$. (b) Para $k = 3$, codifique "H" (= 7) e verifique que a decripção recupera "H".

Para $f$ bijetora, determine $((f^{-1})^{-1})^{-1}$. Justifique usando a unicidade da inversa.

Uma involução é uma função $f$ com $f \circ f = \operatorname{id}$. Mostre que involuções são auto-inversas e verifique que $f(x) = c - x$, $f(x) = -x$ e $f(x) = 1/x$ são exemplos.