Lezione 6 — Funzioni esponenziali

Calcule $2^5$.

Calcule $2^{-3}$.

Resolva $2^x = 8$.

Resolva $3^x = 1/9$.

Resolva $2^{x+1} = 32$.

Resolva $2^x > 2$.

Resolva $4^x = 64$.

Resolva $9^x = 27$.

Resolva $2^{x+3} = 4$.

Resolva $5^{2x - 1} = 125$.

Resolva $3^{x^2 - 1} = 81$.

Resolva $(1/2)^{2x} = 8$.

Resolva $4^x + 2^{x+1} - 8 = 0$.

Resolva $9^x - 3 \cdot 3^x - 18 = 0$. (Substitua $u = 3^x$.)

Resolva a inequação $3^x < 9$.

Resolva a inequação $5^{x+1} \geq 25$.

Resolva $(1/4)^x > 64$.

Onde os gráficos de $f(x) = 2^x$ e $g(x) = 2^{-x}$ se intersectam?

Para qual $x$ vale $2^x = 3^x$ no intervalo $[-2, 2]$?

Para qual valor de $a$ a função $f(x) = a^x$ passa pelo ponto $(2, 9)$? E pelo ponto $(3, 1/8)$?

Uma colônia de bactérias dobra a cada hora. Inicialmente há 50. (a) Modele $N(t)$. (b) Quantas em 6 horas? (c) Em quanto tempo atinge 12.800?

Você aplica R$ 1.000 a 6% ao ano com capitalização anual. (a) Modele $S(t)$. (b) Calcule após 5 anos. (c) Se a capitalização fosse mensal, qual o saldo após 5 anos?

A meia-vida do carbono-14 é 5.730 anos. Um osso contém $1/8$ do carbono-14 original. Quantos anos ele tem?

Uma cultura de bactérias triplica a cada 4 horas. Se inicialmente há 200, modele $N(t)$ e calcule $N(12)$.

Você aplica R$ 5.000 a 0,8% ao mês com capitalização mensal. (a) Modele $S(t)$. (b) Saldo após 24 meses?

Capitalização contínua: $S(t) = S_0 e^{rt}$. Aplicando R$ 1.000 a $r = 10\%$ a.a., compare o saldo após 5 anos com capitalização anual e contínua.

Meia-vida do tecnécio-99m (medicina nuclear): 6 horas. Para uma dose inicial de 200 mCi, quanto sobra após 18 horas?

A população de uma cidade cresce a 2,5% ao ano. Se atual = 80.000, qual em 10 anos?

Decaimento exponencial: $A(t) = A_0 \cdot 0,5^{t/T}$. Para $A_0 = 100$ e $T = 5$, qual $A(15)$? Qual $A(0)$?

Calcule $(1 + 1/n)^n$ para $n = 1, 10, 100, 1\,000, 10\,000$. Compare com $e \approx 2{,}71828$.

A intensidade luminosa em água decai como $I(x) = I_0 e^{-0,3 x}$ ($x$ em metros). (a) Para qual profundidade $I = 0{,}1 I_0$? (b) Para $I_0 = 1.000$ lux, qual $I$ a 5 m?

A temperatura de um peixe na geladeira segue lei de Newton: $T(t) - T_a = (T_0 - T_a)e^{-kt}$. Para $T_a = 5\,°C$, $T_0 = 25\,°C$, $k = 0,1$/min: (a) $T(10)$; (b) Quando $T = 6\,°C$?

Uma droga é eliminada do organismo com taxa $k = 0,3$/h. Para dose inicial 500 mg: (a) modele $C(t)$; (b) Quando a concentração é metade da inicial?

Em redes, $P(t) = 1 - e^{-\lambda t}$ é a probabilidade de um pacote chegar em $t$ s. Para $\lambda = 0,5$/s: (a) $P(2)$; (b) Para qual $t$ a probabilidade é 0,9?

Capacitor descarrega segundo $V(t) = V_0 e^{-t/RC}$. Para $V_0 = 12$V, $RC = 2$s: (a) $V(1)$; (b) Quando $V = 1$V?

Em juros compostos diários: $S = S_0 (1 + r/365)^{365 t}$ aproxima a capitalização contínua. Para $r = 12\%$ a.a., $S_0 = 1.000$, calcule $S$ em 2 anos.

Em estudo populacional: $P(t) = 50.000 \cdot 1,03^t$ com $t$ em anos. (a) Em quanto tempo dobra? (b) Qual a taxa anual em %?

Radiação ionizante absorvida por blindagem: $I(x) = I_0 e^{-\mu x}$. Para $\mu = 0,2$/cm, para qual espessura $I = I_0/10$?

Espalhamento Rayleigh: intensidade espalhada $\propto 1/\lambda^4$. Para $\lambda_v = 700$ nm (vermelho) e $\lambda_a = 450$ nm (azul), qual a razão de espalhamento?

Uma escala de avaliação industrial vai de 0 a 100. Modele a conversão $C(n)$ para escala 1-10 e sua inversa.

Mostre que $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ usando a definição de potência inteira.

Mostre que $a^x = b^x$ implica $a = b$ ou $x = 0$, para $a, b > 0$.

Mostre que $f(x) = a^x$ é estritamente crescente se $a > 1$ e estritamente decrescente se $0 < a < 1$.

Resolva $4^x - 3 \cdot 2^{x+2} + 32 = 0$. (Substitua $u = 2^x$.)

Compare a velocidade de crescimento de $a^x$ ($a > 1$) com qualquer polinômio $x^n$ quando $x \to +\infty$.