Lezione 11 — Rapporti trigonometrici nel triangolo rettangolo

Num triangolo rettangolo, o angolo agudo $\theta$ tem cateto oposto $3$ e cateto adjacente $4$. Calcola $\sin\theta$, $\cos\theta$ e $\tan\theta$.

Um triangolo rettangolo tem catetos $5$ e $12$. Calcola a ipotenusa e $\sin, \cos, \tan$ do angolo oposto ao cateto de medida $5$.

Hipotenusa $= 13$ e cateto oposto a $\theta$ vale $5$. Calcola $\sin\theta$ e $\cos\theta$.

Calcola $\sin 30°$, $\cos 30°$ e $\tan 30°$ exatos.

Calcola $\sin 60°$, $\cos 60°$ e $\tan 60°$ exatos.

Calcola $\sin 45°$, $\cos 45°$ e $\tan 45°$ exatos.

Se $\sin\theta = \sqrt{3}/2$ e $\theta$ é agudo, qual o valor de $\theta$?

Se $\cos\theta = 1/2$ e $\theta$ é agudo, qual o valor de $\theta$?

Se $\tan\theta = 1$ e $\theta$ é agudo, qual o valor de $\theta$?

Num triangolo $30°$-$60°$-$90°$ com ipotenusa $10$, calcule os catetos.

Se $\sin\theta = 3/5$ e $\theta$ é agudo, calcule $\cos\theta$.

Se $\cos\theta = 5/13$ e $\theta$ é agudo, calcule $\sin\theta$ e $\tan\theta$.

Se $\tan\theta = 2/3$ e $\theta$ é agudo, calcule $\sin\theta$ e $\cos\theta$.

Verifica a identidade $\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1$ usando os valores notáveis.

Mostra che $\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta$ a partir das definições nel triangolo rettangolo.

Mostra che $\sin(90° - \theta) = \cos\theta$ a partir do triangolo rettangolo.

Para $\theta$ agudo, qual é maior: $\sin 60°$ ou $\cos 60°$? Por quê?

Mostra che $\sin\theta < 1$ para todo $\theta$ agudo.

Para $\theta_1, \theta_2$ agudos com $\theta_1 < \theta_2$: mostre que $\sin\theta_1 < \sin\theta_2$ (seno é crescente em $(0°, 90°)$).

Mostra che $\tan\theta \to +\infty$ quando $\theta \to 90°^-$.

Num triangolo rettangolo com ipotenusa $20$ cm e angolo agudo $35°$, calcule os catetos. (Use $\sin 35° \approx 0{,}574$ e $\cos 35° \approx 0{,}819$.)

Cateto oposto $= 6$ e angolo $\theta = 40°$. Calcola a ipotenusa. (Use $\sin 40° \approx 0{,}643$.)

Cateto adjacente $= 10$ e angolo $\theta = 25°$. Calcola o cateto oposto. (Use $\tan 25° \approx 0{,}466$.)

Hipotenusa $= 25$, cateto oposto $= 7$. Calcola o angolo $\theta$.

Catetos $8$ e $15$. Calcola os dois angolos agudos.

Num triangolo equilátero de lado $\ell$, calcule a altezza usando trigonometria. Compare com o resultado por Pitágoras.

Num quadrado de lado $\ell$, calcule a diagonal usando trigonometria.

Mostra che $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} \sin(\theta + 45°)$ usando soma de angolos. (Preview Lição 12.)

Em um triangolo rettangolo com cateto adjacente $b$ e ipotenusa $c$, expresse $\tan\theta$ em função de $b$ e $c$.

Calcola (sem calculadora) $\sin 75°$. (Dica: $75° = 45° + 30°$. Use fórmula da soma — pesquise se necessário.)

Uma escada de $5$ m está apoiada na parede formando angolo de $70°$ com o chão. A que altezza toca a parede?

Você está a $50$ m da base de uma torre. O angolo de elevação do topo é $40°$. Qual a altezza?

Um avião decola e alcança $1\,500$ m de altitude horizontal a $5$ km da pista. Qual o angolo de subida?

Um navio observa um farol a $200$ m de altezza sob angolo de elevação $3°$. A que distância o navio está do farol?

Una rampa de acessibilidade ha un'inclinazione máxima de $5°$ (NBR 9050 admite até $\sim 8{,}33\%$). Para superar $80$ cm de altezza, qual o comprimento mínimo da rampa?

Num eclipse solar, a Lua tem diâmetro angular $0{,}5°$ visto da Terra. Diâmetro real: $3\,474$ km. Calcola a distância Terra-Lua. (Use $\tan(0{,}25°) \approx 0{,}004363$.)

Uma forza de $200$ N é aplicada num corpo numa direção formando $30°$ com a horizontal. Calcola componentes horizontal e verticale da forza.

Um bloco de $50$ kg está sobre uma rampa de $20°$. Qual a forza paralela à rampa que tende a fazer o bloco escorregar? ($g = 10$ m/s².)

A torre Eiffel tem $324$ m. A que angolo você vê o topo se está a $500$ m da base?

Um drone está a $100$ m de altezza e detecta uma pessoa no chão sob angolo $30°$ abaixo do horizonte (depressão). Distância horizontal drone-pessoa?

Um topógrafo está num ponto $A$ e mede o topo de um morro sob angolo de $25°$. Anda $100$ m em direção ao morro até $B$ e o angolo passa a $40°$. Calcola a altezza do morro. (Sistema de duas equações.)

Um cavo de aço sustenta uma antena de $30$ m fixa ao chão a $12$ m da base. Qual o comprimento do cavo? Qual o angolo do cavo com o chão?

Em um pêndulo de $1$ m, o fio forma angolo $15°$ com a verticale no extremo. Qual a altezza do extremo acima do ponto de equilíbrio?

GPS calcula sua posição usando angolos para 4 satélites. Modelo simplificado 2D: dois satélites em $(0,\ 20\,000)$ km e $(15\,000,\ 25\,000)$ km enxergam você sob angolos $\alpha, \beta$ com a verticale. (Esboce, não resolva — visualize triangulação.)

Uma estrada faz uma curva em V com aclive de $8\%$ seguido de declive de $5\%$. Calcola os angolos de aclive e declive em gradi.

Mostra che $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$. (Aplicação direta da fórmula da soma com $\alpha = \beta = \theta$.)

Em um triangolo rettangolo, mostre que área $= \dfrac{1}{2} c^2 \sin\theta \cos\theta$ onde $c$ é ipotenusa e $\theta$ um dos angolos agudos.

Risolvi: $\sin\theta + \cos\theta = 1$ para $\theta \in [0°, 90°]$.

Demonstre $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ usando o triangolo rettangolo e Pitágoras.

Mostra che $\sin\theta = \cos(90° - \theta)$ para todo $\theta \in (0°, 90°)$.