Lezione 14 — Equazioni e disequazioni trigonometriche

Struttura delle soluzioni

Equazioni con seno

Per $\sin x = a$ con $a \in [-1, 1]$: $x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Dove $\arcsin: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ è l'inversa principale.

Equazioni con coseno

Per $\cos x = a$ con $a \in [-1, 1]$: $x = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Dove $\arccos: [-1, 1] \to [0, \pi]$.

Equazioni con tangente

Per $\tan x = a$ con $a \in \mathbb{R}$: $x = \arctan a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Dove $\arctan: \mathbb{R} \to (-\pi/2, \pi/2)$.

Ricetta generale

Per risolvere $f(x) = 0$ trigonometrica:

1. Ridurre alle equazioni di base $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$ mediante identità.
2. Elencare tutte le soluzioni nell'intervallo $[0, 2\pi)$ (o $[-\pi, \pi]$).
3. Generalizzare sommando $2k\pi$ (o $k\pi$ per la tangente).