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Lezione 15 — Teorema dei seni e teorema del coseno

Risoluzione di triangoli qualsiasi (non rettangoli). Applicazioni in topografia, navigazione e fisica.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Math II japonês (cap. 図形と計量) · Trigonometry — US precalc

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Dimostrazioni e uso

Teorema dei seni

what this means · Vale per qualsiasi triangolo (acuto, ottuso, rettangolo). R è il raggio del cerchio circoscritto.

Dimostrazione (per triangolo acuto): costruisci l'altezza $h$ dal vertice $C$ al lato $\overline{AB}$ . Allora $h = b \sin A = a \sin B$ . Quindi $a/\sin A = b/\sin B$ . Stesso argomento per $c$ . ∎

Caso speciale (rettangolo in $C$ ): $\sin C = 1$ , quindi $c = 2R$ — l'ipotenusa è diametro del cerchio circoscritto. Teorema di Talete (geometrico).

Teorema del coseno

what this means · Generalizza Pitagora. Quando C = 90°, cos C = 0 e si recupera c² = a² + b².

Dimostrazione: per il prodotto scalare dei vettori $\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{AB}$ : $|\vec{AB}|^2 = |\vec{CB}|^2 + |\vec{CA}|^2 - 2 \vec{CB} \cdot \vec{CA}$

Poiché $\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}||\vec{CA}|\cos C = ab \cos C$ , si ottiene $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ . ∎

Quando usare ciascun teorema

Hai	Vuoi	Usa
2 angoli + 1 lato (AAS, ASA)	gli altri lati	Teorema dei seni
2 lati + angolo opposto a uno (SSA)	rimanenti (ambiguo!)	Teorema dei seni
2 lati + angolo tra di essi (SAS)	terzo lato	Teorema del coseno
3 lati (SSS)	qualche angolo	Teorema del coseno invertito

Caso ambiguo (SSA)

Dati $a$ , $b$ e $A$ (angolo opposto ad $a$ ): possono esserci 0, 1 o 2 triangoli. Decisione:

Se $a \geq b$ : 1 triangolo.
Se $a < b \sin A$ : 0 triangoli (geometricamente impossibile).
Se $b \sin A < a < b$ : 2 triangoli.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 2Modeling 12Proof 3

Ex. 15.1Application
Triangolo con $a = 8$ , $A = 30°$ , $B = 45°$ . Calcola $b$ .
Solve online
Ex. 15.2Application
Triangolo con $a = 12$ , $A = 50°$ , $B = 70°$ . Calcola $b$ e $c$ .
Solve online
Ex. 15.3Application
Triangolo con $a = 5$ , $b = 8$ , $A = 30°$ . Quanti triangoli sono possibili?
Solve online
Ex. 15.4ApplicationAnswer key
Triangolo con $b = 10$ , $B = 45°$ , $A = 60°$ . Calcola $a$ .
Solve online
Ex. 15.5ApplicationAnswer key
In un triangolo $ABC$ , $A = 40°$ , $B = 80°$ , $a = 7$ . Calcola $C$ e $c$ .
Solve online
Ex. 15.6Application
Triangolo con $a = 6$ , $A = 35°$ , $B = 50°$ . Calcola l'area.
Solve online
Ex. 15.7ApplicationAnswer key
Teorema dei seni: $a/\sin 30° = c/\sin 90°$ . Per $a = 4$ , calcola $c$ .
Solve online
Ex. 15.8Application
In un triangolo, $a = 10$ , $b = 7$ , $A = 90°$ . Conferma con il teorema dei seni.
Solve online
Ex. 15.9Application
Triangolo: $A = 50°$ , $a = 12$ . Determina il raggio del cerchio circoscritto $R$ .
Solve onlineref: OpenStax A&T §10.1
Ex. 15.10Understanding
Mostra che in un triangolo equilatero ( $A = B = C = 60°$ ), $a = b = c$ .
Solve online
Ex. 15.11Application
Triangolo con $a = 5$ , $b = 7$ , $C = 60°$ . Calcola $c$ .
Solve online
Ex. 15.12Application
Triangolo con $a = 8$ , $b = 6$ , $C = 90°$ . Calcola $c$ . (Recupera Pitagora.)
Solve online
Ex. 15.13Application
Triangolo con $a = 4$ , $b = 3$ , $C = 120°$ . Calcola $c$ .
Solve online
Ex. 15.14Application
Triangolo con $a = 5$ , $b = 6$ , $c = 7$ . Calcola $C$ .
Solve online
Ex. 15.15Application
Triangolo con $a = 10$ , $b = 12$ , $c = 15$ . Determina i 3 angoli.
Solve online
Ex. 15.16ApplicationAnswer key
In un triangolo, $a = 12$ , $b = 8$ , $A = 80°$ . Usa il teorema dei seni per $B$ e poi calcola $c$ .
Solve online
Ex. 15.17Application
Triangolo $ABC$ : $a = 4$ , $b = 5$ , $c = 6$ . Calcola l'area con la formula di Erone.
Solve online
Ex. 15.18Application
In un triangolo equilatero di lato $\ell$ , mostra tramite il teorema del coseno che ogni angolo è $60°$ .
Solve online
Ex. 15.19Application
Triangolo con lati $7, 24, 25$ . Verifica che è rettangolo tramite il teorema del coseno.
Solve online
Ex. 15.20Understanding
Quando $C \to 0$ , a cosa tende il teorema del coseno $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ ? Interpreta geometricamente.
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Ex. 15.21Modeling
Cammini 5 km verso est, poi giri di $60°$ a nord e cammini altri 3 km. Distanza dall'origine?
Solve online
Ex. 15.22Modeling
Una nave parte dal porto, naviga 12 km a nord-ovest, poi 8 km a nord-est. Distanza dall'origine?
Solve online
Ex. 15.23Modeling
Un drone osserva due punti $A$ e $B$ a terra sotto angoli di $50°$ e $70°$ . Drone a 200 m di altezza. Calcola la distanza $AB$ .
Solve online
Ex. 15.24ModelingAnswer key
Due lati di un terreno triangolare misurano 80 m e 100 m, formando un angolo di $75°$ . Lunghezza del terzo lato?
Solve online
Ex. 15.25ModelingAnswer key
In un campo da calcio, un attaccante tira dalla posizione che vede la porta di 6 metri sotto un angolo di $20°$ dalla posizione $A$ (dist. dalla porta = 30 m). Distanza porta-attaccante da $A$ ? (Geometria della porta e angolo.)
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Ex. 15.26Modeling
Topografia: devi misurare la distanza tra due punti $A$ e $B$ separati da un fiume. Sei in $C$ , con $\hat{ACB} = 60°$ , $AC = 50$ m, $BC = 70$ m. Distanza $AB$ ?
Solve online
Ex. 15.27ModelingAnswer key
Astronomia: la parallasse stellare di una stella misura un angolo di $\pi/(360 \cdot 60 \cdot 60)$ rad (1 arco-secondo) da un lato all'altro dell'orbita terrestre. Qual è la distanza della stella in UA? (Risp: 206.265 UA = 1 parsec.)
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Ex. 15.28Modeling
Un triangolo di irrigazione ha lati 100m, 120m, 80m. Area?
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Ex. 15.29Modeling
Cinematica inversa: braccio robotico con 2 segmenti $\ell_1 = 30$ cm, $\ell_2 = 25$ cm deve raggiungere un punto a distanza $r = 40$ cm. Angolo tra i segmenti?
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Ex. 15.30ModelingAnswer key
Velocità risultante di una barca a $5$ km/h in un fiume con corrente $3$ km/h perpendicolare: modulo e angolo?
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Ex. 15.31Modeling
Aereo viaggia a 500 km/h in rotta $60°$ NE. Il vento soffia a 100 km/h da est. Velocità risultante?
Solve online
Ex. 15.32Modeling
In GPS bidimensionale, due satelliti in $(0, 100)$ e $(50, 80)$ km ti vedono sotto angoli $30°$ e $45°$ — descrivi (non calcolare) la triangolazione.
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Ex. 15.33Proof
Dimostra il teorema dei seni per triangolo acuto, usando l'altezza dal vertice $C$ .
Solve online
Ex. 15.34Proof
Dimostra il teorema del coseno per triangolo qualsiasi, usando il prodotto scalare.
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Ex. 15.35Proof
Dimostra la formula di Erone usando il teorema del coseno + area = (1/2)ab sin C.
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Fonti di questa lezione

Algebra and Trigonometry — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY · §10.1-10.2: teoremi dei seni e del coseno. Fonte primaria.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Stitz, Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §11.2-11.3: triangoli non rettangoli.
College Trigonometry — Stitz, Zeager · 2013 · EN · CC-BY-NC-SA · cap. 11: applicazioni.
University Physics (Volume 1) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY · cap. 2: vettori e somma vettoriale. Fonte del blocco C.