Lezione 17 — Progressioni aritmetiche (PA)

PA com $a_1 = 1$ e $r = 3$. Calcola $a_{10}$.

PA com $a_1 = 100$ e $r = -7$. Calcola $a_{15}$.

Em uma PA, $a_5 = 17$ e $a_{10} = 32$. Determina $a_1$ e $r$.

Em uma PA, $a_3 = 10$ e $a_8 = 35$. Determina o termo geral.

Quantos termos tem a PA finita $5, 8, 11, \ldots, 200$?

A PA tem termo geral $a_n = 4n - 1$. Quais são $a_1$ e $r$?

PA com $a_1 = 5$, $a_n = 95$ e $n = 19$. Calcola $r$.

Determina $x$ tal que $3x - 1$, $x + 5$, $2x + 9$ formem, nessa ordem, uma PA. (Use a propriedade da média.)

Em uma PA, $a_2 + a_8 = 26$ e $a_3 = 10$. Calcola $a_1$ e $r$.

Insira 4 meios aritméticos entre 3 e 18.

Calcola $1 + 2 + 3 + \ldots + 10$.

Calcola $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$ — o problema clássico de Gauss.

Calcola a soma dos pares: $2 + 4 + 6 + \ldots + 100$.

Calcola a soma dos ímpares: $1 + 3 + 5 + \ldots + 99$.

Calcola a soma dos 30 primeiros termos da PA $5, 9, 13, 17, \ldots$

Em uma PA, $a_1 = 4$ e $a_{20} = 80$. Calcola $S_{20}$.

Calcola $\sum_{k=1}^{50} (2k - 1)$.

Quantos termos é necessário somar da PA $1, 4, 7, 10, \ldots$ para obter total $\geq 1\,000$?

Calcola a soma dos múltiplos de 3 entre 1 e 100.

A soma dos $n$ primeiros termos de uma PA é $S_n = 3n^2 + n$. Determina o termo geral $a_n$.

Você economiza R$ 50 no primeiro mês, R$ 60 no segundo, R$ 70 no terceiro, e assim por diante. Quanto economizou em 2 anos (24 meses)?

Um teatro tem 20 fileiras: a primeira tem 25 lugares, e cada fileira seguinte tem 3 a mais. Quantos lugares no total?

Em queda livre, a distância percorrida no $n$-ésimo segundo é $d_n = g(2n-1)/2$, com $g \approx 9{,}81$ m/s². Verifica que forma PA e calcule a distância total em 5 segundos.

Um relógio bate as horas: 1 batida à 1h, 2 às 2h, ..., 12 às 12h. Quantas batidas em 12 horas?

Salário inicial R$ 3.500/mês com aumento anual fixo de R$ 300. Total acumulado (mensalidades somadas) em 10 anos?

Uma estaca de prédio mede 0,5 m no primeiro nível, 1 m no segundo, 1,5 m no terceiro, etc. Quantos níveis para a soma total ser $\geq$ 50 m?

Inflação mensal: $0{,}5\%$, $0{,}6\%$, $0{,}7\%$, ... Inflação acumulada em 12 meses (aproximação linear via PA).

Soma dos números de 1 a 1.000. Use Gauss.

Decomposição de tarefas: na primeira hora, 50 tarefas; cada hora seguinte rende 5 a menos por cansaço. Quantas tarefas em 8 h?

Em uma fileira de árvores plantadas a cada 5 m, quanta cerca para conectar 100 árvores em sequência?

Demonstre por indução que $\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

Demonstre por indução que se $(a_n)$ é PA com razão $r$, então $a_n = a_1 + (n-1)\,r$.

Encontre uma PA tal que $a_1 + a_5 = 12$ e $a_2 \cdot a_4 = 30$.

Mostra che numa PA com razão $r$, $a_p + a_q = a_m + a_n$ sempre que $p + q = m + n$.

Use a fórmula da soma para calcular $1 + 2 + 3 + \ldots + 1\,000\,000$.

Uma pirâmide tem $n$ tijolos no topo (1) e cresce 1 por nível até a base. Quantos tijolos no total se a base tem 60 fileiras?

Calcola a soma dos primeiros 100 números ímpares.

"Em toda PA, a sequência das diferenças $a_{n+1} - a_n$ é constante." Verdadeira ou falsa?

Em uma PA finita com 49 termos, qual é a posição do termo central?

Em uma PA decrescente ($r < 0$) com $a_1 > 0$, encontre o maior $n$ tal que $S_n > 0$. Expresse em função de $a_1$ e $r$.