Lezione 18 — Progressioni geometriche (PG)

Definizione e formule

Termine generale

$a_n = a_1 q^{n-1}$

Somma dei primi $n$ termini

Per $q \neq 1$: $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Dimostrazione: $S_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1}$. Moltiplicare per $q$: $q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n$ Sottraendo: $q S_n - S_n = a_1 q^n - a_1$, quindi $S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1)$. ∎

Somma infinita (PG convergente)

Se $|q| < 1$, $q^n \to 0$ quando $n \to \infty$. Quindi:

$S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q}$

Questa è la serie geometrica, elemento centrale nelle serie di Taylor (Trim 9).

Comportamento

• $q > 1$: PG cresce esponenzialmente.
• $q = 1$: costante.
• $0 < q < 1$: decrescente, converge a 0.
• $q = -1$: oscilla $a_1, -a_1, a_1, \ldots$
• $q < -1$: oscilla con ampiezza crescente.