Lezione 19 — Limite intuitivo di successioni

Concetto intuitivo

La domanda centrale

Data una successione $(a_n)$, a quale valore (se esiste) si avvicinano i termini quando $n \to \infty$?

Quando questo valore esiste, diciamo che la successione converge e scriviamo $\lim_{n \to \infty} a_n = L$.

Definizione intuitiva

$\lim a_n = L$ significa: i termini $a_n$ diventano arbitrariamente vicini a $L$ quando $n$ è sufficientemente grande.

"Arbitrariamente" e "sufficientemente" sono proprio ciò che si formalizza con $\eps$ e $N$ nella Lezione 41: $\forall \eps > 0, \exists N : n \geq N \Rightarrow |a_n - L| < \eps$

Limiti notevoli

Operazioni con i limiti

Se $\lim a_n = A$ e $\lim b_n = B$ (entrambi finiti):

• $\lim(a_n + b_n) = A + B$
• $\lim(a_n \cdot b_n) = A \cdot B$
• $\lim(a_n / b_n) = A/B$ (se $B \neq 0$)
• $\lim c \cdot a_n = c A$ ($c$ costante)

Successioni che NON convergono

• Divergono a $\pm \infty$: $a_n = n$, $a_n = 2^n$.
• Oscillano: $a_n = (-1)^n$ — alterna 1 e $-1$, non tende a nulla.