Lezione 21 — Piano cartesiano: distanza, punto medio

Geometria analitica in ℝ²

Distanza

Per $P = (x_1, y_1)$, $Q = (x_2, y_2)$: $d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Punto medio

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Divisione di un segmento nel rapporto $k$

Per dividere $\overline{PQ}$ nel rapporto $PR/RQ = k$: $R = \left(\frac{x_1 + k x_2}{1 + k}, \frac{y_1 + k y_2}{1 + k}\right)$

Calcolo di aree

Area del triangolo con vertici $A = (x_1, y_1)$, $B = (x_2, y_2)$, $C = (x_3, y_3)$: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

Equivalente a $\frac{1}{2} |\det M|$ dove $M$ è la matrice dei vettori $\vec{AB}, \vec{AC}$.