Lezione 26 — Vettori nel piano

Vettori in ℝ²

Operazioni

• Somma: $\vec u + \vec v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$.
• Scalare: $\alpha \vec v = (\alpha v_1, \alpha v_2)$.
• Sottrazione: $\vec u - \vec v = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)$.

Modulo (norma)

$|\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Vettore unitario

$\hat v = \vec v / |\vec v|$ ha modulo 1. Versore.

Vettori canonici

$\hat\imath = (1, 0)$, $\hat\jmath = (0, 1)$. Ogni vettore: $\vec v = v_1 \hat\imath + v_2 \hat\jmath$.

Proprietà

• Commutativa: $\vec u + \vec v = \vec v + \vec u$.
• Associativa: $(\vec u + \vec v) + \vec w = \vec u + (\vec v + \vec w)$.
• Identità: $\vec 0 = (0, 0)$, $\vec v + \vec 0 = \vec v$.
• Opposto: $\vec v + (-\vec v) = \vec 0$.
• Distributiva: $\alpha(\vec u + \vec v) = \alpha \vec u + \alpha \vec v$.

Queste 8 proprietà caratterizzano uno spazio vettoriale — visto formalmente in algebra lineare (Trim 12).

Regola del parallelogramma

$\vec u + \vec v$ è la diagonale del parallelogramma formato da $\vec u$ e $\vec v$.