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v1 · padrão canônico

Lezione 27 — Prodotto scalare

Prodotto interno (dot product). Angolo tra vettori, proiezione, ortogonalità. Lavoro meccanico.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 11 alemã · Precalculus §11.8 (US)

u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definizione e proprietà

Proprietà

  • Commutativa: u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u.
  • Distributiva: u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w.
  • Lineare nello scalare: (αu⃗)⋅v⃗=α(u⃗⋅v⃗)(\alpha \vec u) \cdot \vec v = \alpha (\vec u \cdot \vec v).
  • Positiva: u⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2≥0\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2 \geq 0, con uguaglianza   ⟺  u⃗=0⃗\iff \vec u = \vec 0.

Ortogonalità

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0 (ortogonali ⟺ prodotto scalare zero).

Angolo

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| |\vec v|}

Proiezione

Proiezione di u⃗\vec u nella direzione di v⃗\vec v: projv⃗u⃗=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2v⃗\text{proj}_{\vec v} \vec u = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec v|^2} \vec v

Applicazione centrale — lavoro meccanico

W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d — il lavoro di una forza è il suo prodotto scalare con lo spostamento.

Exercise list

32 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 20Modeling 9Challenge 2Proof 1
  1. Ex. 27.1Application
    (3,4)⋅(1,2)(3, 4) \cdot (1, 2).
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  2. Ex. 27.2ApplicationAnswer key
    (2,−1)⋅(3,5)(2, -1) \cdot (3, 5).
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  3. Ex. 27.3Application
    (0,0)⋅v⃗(0, 0) \cdot \vec v per qualsiasi v⃗\vec v.
    Solve online
  4. Ex. 27.4Application
    Verifica se (3,4)(3, 4) e (−4,3)(-4, 3) sono perpendicolari.
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  5. Ex. 27.5ApplicationAnswer key
    Per quale kk vale (2,k)⋅(3,1)=0(2, k) \cdot (3, 1) = 0?
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  6. Ex. 27.6Application
    Angolo tra (1,0)(1, 0) e (1,1)(1, 1).
    Solve online
  7. Ex. 27.7Application
    Angolo tra (3,4)(3, 4) e (4,3)(4, 3).
    Solve online
  8. Ex. 27.8Application
    Mostra ∣v⃗∣2=v⃗⋅v⃗|\vec v|^2 = \vec v \cdot \vec v per v⃗=(2,3)\vec v = (2, 3).
    Solve online
  9. Ex. 27.9Application
    Proiezione di (4,3)(4, 3) su (1,0)(1, 0).
    Solve online
  10. Ex. 27.10Application
    Proiezione di (4,3)(4, 3) su (0,1)(0, 1).
    Solve online
  11. Ex. 27.11ApplicationAnswer key
    Proiezione di (3,5)(3, 5) su (1,1)(1, 1).
    Solve online
  12. Ex. 27.12Application
    Decomposizione di (3,5)(3, 5) in parallela + perpendicolare a (1,0)(1, 0).
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  13. Ex. 27.13Application
    Per u⃗=(1,2),v⃗=(3,−1)\vec u = (1, 2), \vec v = (3, -1): angolo tra loro?
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  14. Ex. 27.14ApplicationAnswer key
    Vettore unitario ortogonale a (2,1)(2, 1).
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  15. Ex. 27.15Application
    Trova vettore di modulo 5 perpendicolare a (3,4)(3, 4).
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  16. Ex. 27.16ApplicationAnswer key
    Coseno dell'angolo tra (1,0)(1, 0) e (0,1)(0, 1).
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  17. Ex. 27.17Application
    u⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec u è sempre non negativo. Dimostra.
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  18. Ex. 27.18Application
    Per u⃗=(3,0),v⃗=(0,4)\vec u = (3, 0), \vec v = (0, 4): u⃗⋅v⃗=?\vec u \cdot \vec v = ?.
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  19. Ex. 27.19Application
    Per u⃗=(2,3),v⃗=(−3,2)\vec u = (2, 3), \vec v = (-3, 2): ortogonali? Angolo?
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  20. Ex. 27.20Application
    Per quale θ\theta tra vettori non nulli vale u⃗⋅v⃗<0\vec u \cdot \vec v < 0?
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  21. Ex. 27.21Modeling
    Lavoro di forza F⃗=(10,5)\vec F = (10, 5) N su spostamento d⃗=(3,4)\vec d = (3, 4) m: W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d.
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  22. Ex. 27.22Modeling
    Forza F⃗=(5,0)\vec F = (5, 0) N tira scatola per d⃗=(3,4)\vec d = (3, 4) m. Lavoro utile = proiezione di F⃗\vec F nella direzione di d⃗\vec d per ∣d⃗∣|\vec d|.
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  23. Ex. 27.23Modeling
    Su rampa, forza gravitazionale g⃗=(0,−mg)\vec g = (0, -mg) proiettata nella direzione della rampa (cos⁡θ,−sin⁡θ)(\cos\theta, -\sin\theta). Componente parallela al piano = mgsin⁡θmg \sin\theta.
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  24. Ex. 27.24Modeling
    In ML, similarità coseno tra due embedding: cos⁡θ=u⃗⋅v⃗/(∣u⃗∣∣v⃗∣)\cos\theta = \vec u \cdot \vec v / (|\vec u||\vec v|). Per (0.3,0.5)(0.3, 0.5) e (0.6,0.4)(0.6, 0.4), calcola.
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  25. Ex. 27.25Modeling
    In raccomandazione, due utenti hanno vettori di voti (5,4,3,5,2)(5,4,3,5,2) e (4,5,3,4,3)(4,5,3,4,3). Coseno?
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  26. Ex. 27.26Modeling
    In filtro digitale, correlazione tra segnale (1,2,1,0)(1, 2, 1, 0) e modello (1,1,0,0)(1, 1, 0, 0) via prodotto scalare.
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  27. Ex. 27.27Modeling
    Lavoro non banale: forza perpendicolare al movimento fa lavoro zero (θ=90°\theta = 90°, cos⁡=0\cos = 0).
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  28. Ex. 27.28ModelingAnswer key
    Legge di Lambert (illuminazione): intensità I=I0n⃗⋅ℓ^I = I_0 \vec n \cdot \hat\ell — prodotto scalare normale-direzione della luce.
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  29. Ex. 27.29Modeling
    In GPS, proiezione di errore radiale in direzione tangenziale via prodotto scalare.
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  30. Ex. 27.30ChallengeAnswer key
    Dimostra la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ∣u⃗⋅v⃗∣≤∣u⃗∣∣v⃗∣|\vec u \cdot \vec v| \leq |\vec u||\vec v|. (Usa ∣u⃗+tv⃗∣2≥0|\vec u + t\vec v|^2 \geq 0 per ogni tt.)
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  31. Ex. 27.31Proof
    Dimostra la legge dei coseni vettoriale: ∣u⃗−v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2u⃗⋅v⃗|\vec u - \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2 \vec u \cdot \vec v.
    Solve online
  32. Ex. 27.32ChallengeAnswer key
    Mostra che u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec u||\vec v|\cos\theta usando la legge dei coseni.
    Solve online

Fonti di questa lezione

Updated on 2026-04-29 · Author(s): Clube da Matemática

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