Lezione 32 — Operazioni con le matrici

Operazioni

Somma e differenza

Per matrici della stessa dimensione: $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

Moltiplicazione per uno scalare

$(\alpha A)_{ij} = \alpha \cdot a_{ij}$

Prodotto matriciale

Definito solo quando il numero di colonne di $A$ = numero di righe di $B$: $A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = (AB)_{m \times p}$

$\boxed{(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}}$

Proprietà

• Associativa: $(AB)C = A(BC)$.
• Distributiva: $A(B + C) = AB + AC$.
• NON commutativa: in generale $AB \neq BA$.
• Identità: $AI = IA = A$.
• Nulla: $AO = OA = O$.

Perché il prodotto matriciale è "strano"

Perché corrisponde alla composizione di trasformazioni lineari: applicare prima $B$ e poi $A$ è lo stesso che applicare $AB$. L'ordine importa perché la composizione importa.