Lezione 33 — Matrice trasposta, identità, inversa

Trasposta e inversa

Trasposta

$(A^T)_{ij} = a_{ji}$. Si scambiano righe e colonne. Proprietà:

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(\alpha A)^T = \alpha A^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$ (inverte l'ordine!)

Matrice simmetrica: $A^T = A$.

Identità

$I_n$: matrice quadrata $n \times n$ con 1 sulla diagonale e 0 altrove. Per ogni $A_{n \times n}$: $AI = IA = A$

Inversa

$A_{n \times n}$ è invertibile se esiste $A^{-1}$ tale che $AA^{-1} = A^{-1}A = I$. Equivalenti:

1. $A$ è invertibile.
2. $\det A \neq 0$.
3. $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ ha solo $\mathbf{x} = \mathbf{0}$.
4. Le colonne di $A$ sono linearmente indipendenti.

Inversa 2x2

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

(Valida se $ad - bc \neq 0$.)

Proprietà dell'inversa

• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ (inverte l'ordine!)
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• $(\alpha A)^{-1} = (1/\alpha) A^{-1}$