Lezione 34 — Determinanti 2x2 e 3x3

Calcolo e proprietà

2x2

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

3x3 (Sarrus)

$\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

(Regola dei "3 prodotti discendenti − 3 prodotti ascendenti".)

Proprietà

1. $\det(I) = 1$.
2. $\det(A^T) = \det(A)$.
3. $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$.
4. $\det(\alpha A) = \alpha^n \det(A)$ per $A_{n \times n}$.
5. $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$.
6. Scambiare 2 righe/colonne inverte il segno.
7. Se $A$ ha 2 righe/colonne uguali, $\det A = 0$.
8. Aggiungere un multiplo di una riga a un'altra non altera il determinante.

Interpretazione geometrica

• $|\det A|$ = volume del parallelepipedo generato dalle colonne di $A$.
• $\det A > 0$: orientazione preservata. $\det A < 0$: orientazione invertita.
• $\det A = 0$: colonne linearmente dipendenti (parallelepipedo "appiattito").

Criterio di invertibilità

$A$ invertibile $\iff \det A \neq 0$.