Lezione 35 — Risoluzione di sistemi tramite matrici

Metodi di risoluzione

Forma matriciale

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{cases}$ ⟺ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ con $A_{3 \times 3}$, $\mathbf{x}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$.

Metodo 1 — Eliminazione di Gauss

Operazioni elementari (non alterano la soluzione):

1. Scambiare due righe.
2. Moltiplicare una riga per uno scalare non nullo.
3. Sommare un multiplo di una riga ad un'altra.

Obiettivo: triangolarizzare la matrice aumentata $[A | \mathbf{b}]$ fino a forma a scalini. Poi sostituzione all'indietro.

Metodo 2 — Cramer

Per $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ con $\det A \neq 0$: $x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$

dove $A_i$ è $A$ con la $i$-esima colonna sostituita da $\mathbf{b}$.

Metodo 3 — Inversa

$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$. Si può calcolare $A^{-1}$ tramite $[A | I] \to [I | A^{-1}]$ per eliminazione.

Quando usare ognuno

• Cramer: bello teoricamente, ma $O(n^4)$ — usato solo per $n \leq 3$.
• Gauss: $O(n^3)$, standard in pratica.
• Inversa esplicita: solo se serve risolvere più sistemi con la stessa $A$.

Classificazione

• Determinato: soluzione unica ($\det A \neq 0$).
• Indeterminato: infinite soluzioni ($\det A = 0$ + consistente).
• Impossibile: senza soluzione ($\det A = 0$ + inconsistente).