Lezione 47 — Asintoti e comportamento asintotico

Determina tutti gli asintoti verticali di $f(x) = \dfrac{5}{x^2 - 9}$ e l'asintoto orizzontale.

Determina gli asintoti verticali di $f(x) = \dfrac{x^2 + x - 2}{x^2 - 1}$.

Determina gli asintoti verticali di $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Per $f(x) = \dfrac{1}{x}$, determina la AV e calcola i due limiti laterali, indicandone i segni.

Determina l'unico asintoto verticale di $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - x}$.

Determina e descrivi tutti gli asintoti verticali di $f(x) = \tan x$.

Determina gli asintoti verticali di $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$.

La funzione $f(x) = \ln x$ ha asintoto verticale? Se sì, in quale punto e qual è il segno del limite?

La funzione $f(x) = \dfrac{1}{x \ln x}$ ha AV in $x = 0$? In $x = 1$? Giustifica ogni caso.

Determina tutti gli asintoti di $f(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$.

Determina gli asintoti di $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3}{x^2 + 1}$.

Una funzione razionale $f(x) = P(x)/(x^2 - 1)$ ha necessariamente AV in $x = 1$ e $x = -1$?

Determina l'asintoto orizzontale di $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$.

Determina gli asintoti orizzontali di $f(x) = e^{-x}$ in $+\infty$ e in $-\infty$ separatamente.

Determina gli asintoti orizzontali di $f(x) = \arctan x$.

Determina l'asintoto obliquo di $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ e l'asintoto verticale.

Determina l'asintoto obliquo di $f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 1}{x - 2}$ per divisione lunga.

Determina l'asintoto obliquo di $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$ usando il metodo dei limiti ($m = \lim f/x$, poi $b$).

Determina l'asintoto obliquo di $f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$.

Analizza $f(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{x}$: semplifica, identifica eventuali asintoti e descrivi il grafico completo.

Identifica tutti gli asintoti di $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}$.

Identifica tutti gli asintoti di $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$.

Identifica tutti gli asintoti di $f(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{x - 1}$.

Determina gli asintoti orizzontali di $f(x) = \tanh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$.

Determina gli asintoti obliqui di $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$.

Determina gli asintoti di $f(x) = x \cdot e^{-x}$.

Determina tutti gli asintoti di $f(x) = \dfrac{x^4 + 1}{x^3 - 1}$.

In farmacocinetica di eliminazione del primo ordine, $C(t) = C_0 e^{-kt}$ con $k > 0$. Determina l'asintoto orizzontale e interpretalo clinicamente.

Nel modello $C(t) = \dfrac{At}{t + k}$ (concentrazione del farmaco in mg/L), determina l'AH e calcola il tempo $t_{50}$ in cui la concentrazione raggiunge il $50\%$ del platò.

Costo totale $C(q) = F + cq$. Costo medio $\bar{C}(q) = C(q)/q$. Determina gli asintoti di $\bar{C}$ e interpretali economicamente.

Nel modello logistico $P(t) = \dfrac{K}{1 + \left(\frac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt}}$, determina l'AH e interpretala biologicamente.

Oggetto in caduta con resistenza proporzionale alla velocità: $v(t) = \dfrac{mg}{k}\!\left(1 - e^{-kt/m}\right)$. Determina l'asintoto orizzontale e spiega il ruolo dei parametri $m$ e $k$.

Nel modello $C(t) = \dfrac{120t}{t + 4}$ (mg/L), in quanto tempo la concentrazione raggiunge il $90\%$ del valore asintotico?

Il campo elettrico di una carica puntiforme è $E(r) = kq/r^2$ per $r > 0$. Determina gli asintoti (AH e AV) e interpretali fisicamente.

L'iperbole $x^2 - y^2 = 1$ ha asintoti obliqui. Determinali e disegna i rami e le rette asintotiche.

Costo totale quadratico: $C(q) = aq^2 + bq + F$ ($a > 0$). Il costo medio $\bar{C}(q) = C(q)/q$ ha quale asintoto obliquo? Interpretalo economicamente.

Una funzione può attraversare il proprio asintoto orizzontale?

Una funzione può avere asintoto orizzontale e asintoto obliquo nello stesso senso ($x \to +\infty$)?

Determina tutti gli asintoti di $f(x) = \dfrac{x^4 + 1}{x^3 - 1}$.

Dimostra che se $y = mx + b$ è asintoto obliquo di $f$, allora necessariamente $m = \lim_{x \to \infty} f(x)/x$ e $b = \lim_{x \to \infty}(f(x) - mx)$.

Prova rigorosamente che una funzione non può avere simultaneamente asintoto orizzontale e asintoto obliquo (con $m \neq 0$) quando $x \to +\infty$.

Prova che se $f = P/Q$ è razionale con $\deg P = \deg Q = n$, allora $f$ ha AH $y = a_n/b_n$ dove $a_n, b_n$ sono i coefficienti dominanti di $P$ e $Q$ rispettivamente.