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Lezione 48 — Limiti di funzioni trigonometriche

Continuità di seno, coseno e tangente; i due limiti fondamentali sin x/x e (1−cos x)/x; generalizzazioni; teorema del confronto; applicazioni in fisica.

Used in: 2º anno della Scuola superiore (16 anni) · Equivalente Math II giapponese cap. 4 · Equivalente Klasse 11 tedesca (Grenzwerte trigonometrischer Funktionen)

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definizione rigorosa e tecniche di manipolazione

Continuità delle funzioni trigonometriche

Il limite fondamentale: prova geometrica

Theorem· Limite fondamentale trigonometrico

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$

Prova (argomento di area, $x \in (0, \pi/2)$ ). Considerate il cerchio unitario. Il settore di angolo $x$ ha area $x/2$ . Il triangolo inscritto ha area $(\sin x)/2$ e il triangolo esterno ha area $(\tan x)/2$ . Per inclusione di aree:

$\frac{\sin x}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan x}{2}.$

Dividendo per $(\sin x)/2 > 0$ :

$1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}.$

Invertendo (e invertendo le disuguaglianze):

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1.$

Poiché $\cos x \to 1$ quando $x \to 0^+$ , per il Teorema del Confronto: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$ . Per $x \to 0^-$ , usate che $\sin(-x)/(-x) = \sin x / x$ . Quindi il limite bilaterale è 1. $\square$

"We can use the squeeze theorem to tackle several important limits. [...] The first involves the sine function." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3

Limiti trigonometrici fondamentali

Definition· Tabella di limiti con x → 0

Limite	Valore	Osservazione
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$	$1$	limite fondamentale
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x}$	$0$	via coniugato
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$	$\dfrac{1}{2}$	via identità $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$	$1$	$= \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx}$	$\dfrac{a}{b}$	sostituzione $u = ax$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{\sin(bx)}$	$\dfrac{a}{b}$	entrambi $\to$ 1 via limite fondamentale

Dimostrazioni dei limiti secondari

$(1 - \cos x)/x^2 \to 1/2$ : usando l'identità $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ :

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2} \to \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.$

$\tan x / x \to 1$ :

$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \to 1 \cdot \frac{1}{1} = 1.$

$\sin(ax)/(bx) \to a/b$ : sia $u = ax$ ; quando $x \to 0$ , $u \to 0$ :

$\frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\sin(ax)}{ax} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\sin u}{u} \to \frac{a}{b}.$

Teorema del Confronto

Asintoti verticali di $\tan$ , $\sec$ , $\csc$ , $\cot$

In $x = \pi/2 + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ): $\cos x = 0$ e $\sin x = \pm 1$ , quindi:

$\lim_{x \to (\pi/2)^-} \tan x = +\infty, \quad \lim_{x \to (\pi/2)^+} \tan x = -\infty.$

Analogamente, $\csc x = 1/\sin x$ ha asintoti in $x = k\pi$ e $\cot x = \cos x / \sin x$ idem.

Grafico di $\tan x$ vicino a $x = \pm\pi/2$ : asintoti verticali con limiti laterali di segni opposti.

Esempi risolti

Example— 1· Continuità e sostituzione diretta

Problema: Calcolate $\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x)$ .

Strategia: Poiché $\sin x$ e $\cos x$ sono continue in tutto $\mathbb{R}$ , e le combinazioni lineari di funzioni continue sono continue, possiamo semplicemente sostituire $x = \pi/3$ .

Risoluzione:

Identificare la continuità: Le funzioni $\sin x$ e $\cos x$ sono continue in $\mathbb{R}$ , quindi la somma $2\sin x + \cos x$ lo è anche.
Sostituire direttamente:

$\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x) = 2\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3}.$

Calcolare i valori:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \frac{1}{2}.$

Verifica numerica: $\pi/3 \approx 1{,}047$ ; $2\sin(1{,}047) + \cos(1{,}047) \approx 2(0{,}866) + 0{,}500 = 2{,}232 \approx \sqrt{3} + 0{,}5$ . Corretto.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.23 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Limite della forma sin(ax)/bx

Problema: Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{3x}$ .

Strategia: Identificare la forma $\sin(ax)/(bx)$ con $a = 5$ e $b = 3$ . Riscrivere come $\frac{a}{b} \cdot \frac{\sin(ax)}{ax}$ per ridurre al limite fondamentale.

Risoluzione:

Riscrivere moltiplicando e dividendo per 5:

$\frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x}.$

Applicare il limite: Mentre $x \to 0$ , anche $5x \to 0$ . Quindi:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 1.$

Combinare:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}.$

Verifica: Per $x = 0{,}001$ : $\sin(0{,}005)/0{,}003 \approx 1{,}6\overline{6} = 5/3$ . Corretto.

Fonte. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 3· Limite con tan e sin

Problema: Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{\sin(5x)}$ .

Strategia: Riscrivere $\tan(3x) = \sin(3x)/\cos(3x)$ e separare in fattori che tendono a limiti noti.

Risoluzione:

Riscrivere $\tan$ :

$\frac{\tan(3x)}{\sin(5x)} = \frac{\sin(3x)}{\cos(3x) \cdot \sin(5x)}.$

Moltiplicare e dividere per gli argomenti:

$= \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin(5x)} \cdot \frac{3}{5\cos(3x)}.$

Applicare i limiti noti:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin(5x)} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos(3x)} = 1.$

Combinare:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(5x)} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}.$

Verifica: Per $x = 0{,}01$ : $\tan(0{,}03)/\sin(0{,}05) \approx 0{,}030009/0{,}049979 \approx 0{,}600 = 3/5$ . Corretto.

Fonte. APEX Calculus, §1.3, Exercises p. 49 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Teorema del confronto applicato a funzione oscillante

Problema: Calcolate $\lim_{x \to 0} x^2 \cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .

Strategia: La funzione $\cos(1/x)$ oscilla senza limite quando $x \to 0$ . Non si può usare il prodotto di limiti. Ma poiché $|\cos(1/x)| \leq 1$ , è possibile incapsulare $x^2\cos(1/x)$ tra due funzioni il cui limite è 0 e applicare il Teorema del Confronto.

Risoluzione:

Stabilire la disuguaglianza: Per ogni $x \neq 0$ , $-1 \leq \cos(1/x) \leq 1$ . Moltiplicando per $x^2 \geq 0$ :

$-x^2 \leq x^2\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2.$

Calcolare i limiti delle funzioni limitrofe:

$\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$

Applicare il Teorema del Confronto: Poiché la funzione di mezzo è stretta tra due funzioni che tendono a 0:

$\lim_{x \to 0} x^2\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) = 0.$

Verifica: Non si può scrivere $\lim(x^2) \cdot \lim(\cos(1/x))$ perché il secondo limite non esiste. Il confronto lo evita con eleganza.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, The Squeeze Theorem — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 5· Approssimazione di piccolo angolo nel pendolo

Problema: Per angoli piccoli, mostrate che il periodo del pendolo si avvicina a $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ usando il limite $\lim_{\theta \to 0}\sin\theta/\theta = 1$ . Calcolate l'errore percentuale relativo in $T$ per $\theta_0 = 10°$ .

Strategia: L'approssimazione $\sin\theta \approx \theta$ trasforma l'equazione differenziale non-lineare in lineare, il cui periodo è $T_0$ . La correzione di primo ordine al periodo viene dalla serie di Taylor di $\sin\theta$ .

Risoluzione:

Equazione differenziale esatta: $\ddot\theta + (g/L)\sin\theta = 0$ .
Approssimazione di piccoli angoli: Poiché $\lim_{\theta \to 0} \sin\theta/\theta = 1$ , per $\theta$ piccolo: $\sin\theta \approx \theta$ . L'equazione diventa:

$\ddot\theta + \frac{g}{L}\theta = 0.$

Questo è l'oscillatore armonico semplice con frequenza $\omega_0 = \sqrt{g/L}$ e periodo $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ .

Correzione di primo ordine: Usando $\sin\theta \approx \theta - \theta^3/6$ , l'espansione del periodo esatto è:

$T = T_0 \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \cdots\right).$

Errore relativo per $\theta_0 = 10°$ :

$\frac{T - T_0}{T_0} \approx \frac{\theta_0^2}{16} = \frac{(0{,}1745)^2}{16} \approx 0{,}0019 = 0{,}19\%.$

Il periodo reale supera $T_0$ di solo il $0{,}19\%$ per oscillazioni di $10°$ .

Verifica: Per $\theta_0 = 30°$ : errore $\approx (0{,}5236)^2/16 \approx 1{,}71\%$ — ancora piccolo ma non più trascurabile.

Fonte. Active Calculus, §2.2, Activity 2.2.2 — CC-BY-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 30Understanding 4Modeling 3Challenge 2Proof 1

Ex. 48.1Application
Calcolate $\lim_{x \to \pi/4} \sin x$ .
Solve online
Ex. 48.2Application
Calcolate $\lim_{x \to \pi/2} \cos x$ .
Solve online
Ex. 48.3ApplicationAnswer key
Calcolate $\lim_{x \to \pi/6} \tan x$ .
Solve online
Ex. 48.4Application
Calcolate $\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x)$ .
Solve online
Ex. 48.5Application
Calcolate $\lim_{x \to \pi} (\sin x + 2\cos x)$ .
Solve online
Ex. 48.6Understanding
Quale affermazione sulla continuità di $\sin x$ , $\cos x$ e $\tan x$ è corretta?
Solve online
Ex. 48.7Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} \sin x$ .
Solve online
Ex. 48.8Understanding
Cosa succede con $\lim_{x \to \pi/2} \tan x$ ?
Solve online
Ex. 48.9Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(7x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.10Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{3x}$ .
Solve online
Ex. 48.11ApplicationAnswer key
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{\sin(3x)}$ .
Solve online
Ex. 48.12Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.13Application
Calcolate $\lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin x}{x - \pi}$ .
Solve online
Ex. 48.14Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x \sin(2x)}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 48.15Application
Calcolate $\lim_{x \to \pi/2} \dfrac{\cos x}{x - \pi/2}$ .
Solve online
Ex. 48.16ApplicationAnswer key
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.17Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 48.18Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.19Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{\sin(2x)}$ .
Solve online
Ex. 48.20ApplicationAnswer key
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(3x)}{1 - \cos(2x)}$ .
Solve online
Ex. 48.21Application
Calcolate $\lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin(\pi - x)}{\pi - x}$ .
Solve online
Ex. 48.22ApplicationAnswer key
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(a + x) - \sin a}{x}$ (dove $a$ è costante).
Solve online
Ex. 48.23Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(a + x) - \cos a}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.24ApplicationAnswer key
Calcolate $\lim_{x \to 0} x \cot x$ .
Solve online
Ex. 48.25Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x - \cos(3x)}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 48.26ApplicationAnswer key
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sec x - 1}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 48.27ApplicationAnswer key
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\arcsin(ax)}{x}$ (per $a \neq 0$ costante).
Solve online
Ex. 48.28Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\arctan(3x)}{\sin(2x)}$ .
Solve online
Ex. 48.29Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(\sin x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.30Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.31Understanding
Per calcolare $\lim_{x \to 0} x^2\sin(1/x)$ , quale metodo è corretto e perché?
Solve online
Ex. 48.32Understanding
Cosa succede con $\lim_{x \to 0} \sin(1/x)$ ?
Solve online
Ex. 48.33Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .
Solve online
Ex. 48.34Application
Calcolate $\lim_{x \to 0} x^2\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .
Solve online
Ex. 48.35Challenge
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$ .
Solve online
Ex. 48.36ChallengeAnswer key
Calcolate $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(\sin x) - x}{x^3}$ .
Solve online
Ex. 48.37ProofAnswer key
Dimostrate che $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ usando il Teorema del Confronto e l'argomento di area del cerchio unitario.
Solve online
Ex. 48.38Modeling
Nel modello di diffrazione a singola fessura, l'intensità è $I(\theta) \propto \left(\dfrac{\sin u}{u}\right)^2$ , con $u = \pi a\sin\theta/\lambda$ . Cosa accade al centro dello schermo ( $\theta = 0$ )?
Solve online
Ex. 48.39Modeling
L'approssimazione di piccolo angolo $\sin\theta \approx \theta$ è fondamentale in ingegneria. Per $\theta_0 = 5°$ , quale affermazione è corretta sull'errore relativo?
Solve online
Ex. 48.40Modeling
Il periodo del pendolo con ampiezza $\theta_0$ segue $T \approx T_0(1 + \theta_0^2/16)$ . Calcolate l'errore percentuale relativo per $\theta_0 = 30°$ e $\theta_0 = 45°$ . Per quale ampiezza l'approssimazione diventa clinicamente problematica (errore oltre 1%)?
Solve online

Fonti

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · OpenStax · 2016 · §2.3 (The Limit Laws — trig limits, Squeeze Theorem), §2.4 (Continuity), §3.5 (Derivatives of Trig Functions) · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primaria per esercizi ed esempi.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · §1.3 (Finding Limits Analytically — sezione trigonometrica, pp. 48–49) · CC-BY-NC 4.0.
Active Calculus — Boelkins · 2024 · §2.2 (Sine and Cosine Functions, Activity 2.2.2) · CC-BY-SA 4.0.