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Lezione 49 — Limite di successioni (formalizzato)

Definizione rigorosa epsilon-N di convergenza. Teoremi fondamentali: unicità, algebra dei limiti, confronto, monotona limitata, Bolzano-Weierstrass. Applicazioni in algoritmi iterativi e finanza.

Used in: 2º anno del programma (17 anni) · Equiv. Math III giapponese cap. 6 · Equiv. Klasse 12 LK Analisi tedesca · Equiv. H2 Math singaporiana — Successioni e serie

\lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall\,\varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N} : n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definizione rigorosa e teoremi fondamentali

Definizione epsilon-N

"We say the sequence $(x_n)$ converges to a number $L$ if for every $\varepsilon > 0$ , there exists an $M \in \mathbb{N}$ such that $|x_n - L| < \varepsilon$ for all $n \geq M$ ." — Lebl, Basic Analysis Vol. I, §2.1

"A sequence $(x_n)$ is a Cauchy sequence if for every $\varepsilon > 0$ there exists an $M \in \mathbb{N}$ such that for all $n, k \geq M$ we have $|x_n - x_k| < \varepsilon$ ." — Lebl, Basic Analysis Vol. I, §2.4

Interpretazione geometrica

L'intervallo orizzontale $(L - \varepsilon, L + \varepsilon)$ cattura tutti i termini con $n > N$ . Per qualsiasi intervallo che tu scelga (per quanto stretto), esiste un $N$ che funziona.

Teoremi fondamentali

Teorema	Enunciato riassunto
Algebra dei limiti	$\lim(a_n \pm b_n) = \lim a_n \pm \lim b_n$ ; analogo per prodotto e quoziente (denominatore $\neq 0$ )
Teorema del confronto	$a_n \leq b_n \leq c_n$ e $\lim a_n = \lim c_n = L$ implica $\lim b_n = L$
Bolzano-Weierstrass	Ogni successione limitata ha una sottosuccessione convergente
Cauchy $\iff$ convergente	In $\mathbb{R}$ : ogni successione di Cauchy converge (equivalenza che definisce completezza)

Limiti notevoli

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p} = 0\;(p>0),\quad \lim_{n\to\infty}r^n = 0\;(|r|<1),\quad \lim_{n\to\infty}n^{1/n} = 1,\quad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e.

what this means · Successioni fondamentali i cui limiti devono essere memorizzati.

Gerarchia di crescita

\ln n \ll n^a \ll b^n \ll n! \ll n^n \quad (a > 0,\; b > 1).

what this means · Qualsiasi funzione a sinistra cresce molto più lentamente di qualsiasi funzione a destra.

Esempi risolti

Example— 1· Limite di successione razionale per divisione di potenza

Problema. Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 3n + 1}{n^2 + 5}$ .

Strategia. Divisione di numeratore e denominatore per il grado più alto di $n$ che appare ( $n^2$ ). Dopo ciò, ogni parte con $n$ al denominatore va a zero.

Risoluzione.

Dividi numeratore e denominatore per $n^2$ :

$\frac{2n^2 - 3n + 1}{n^2 + 5} = \frac{2 - 3/n + 1/n^2}{1 + 5/n^2}.$

Applica il limite usando algebra dei limiti. Ogni frazione $c/n^k \to 0$ :

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 - 3/n + 1/n^2}{1 + 5/n^2} = \frac{2 - 0 + 0}{1 + 0} = 2.$

Verifica. Per $n = 100$ : $(20000 - 300 + 1)/(10000 + 5) = 19701/10005 \approx 1{,}969$ . Per $n = 10000$ : $(2 \cdot 10^8 - 30000 + 1)/(10^8 + 5) \approx 2{,}0003$ . Converge a 2.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Teorema del confronto: successione oscillante divisa per n

Problema. Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$ .

Strategia. La funzione $\sin n$ oscilla senza convergere, ma è sempre tra $-1$ e $1$ . Usiamo il teorema del confronto stringendo la successione tra $-1/n$ e $1/n$ .

Risoluzione.

Usa la disuguaglianza fondamentale $-1 \leq \sin n \leq 1$ :

$-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n} \quad \text{per ogni } n \geq 1.$

Calcola i limiti delle successioni limitanti:

$\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.$

Dal teorema del confronto, la successione nel mezzo va anche a 0:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0.$

Verifica. Per $n = 100$ : $\sin(100)/100 \approx -0{,}00506$ . Per $n = 1000$ : $\sin(1000)/1000 \approx 0{,}000827$ . Entrambi vicini a zero.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1, Example 5.7 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Successione monotona limitata: convergenza di (1+1/n)^n

Problema. Dimostra che la successione $a_n = (1 + 1/n)^n$ è crescente e limitata superiormente da 3, quindi converge. Identifica il limite.

Strategia. Espansione binomiale per mostrare la crescita; confronto con serie geometrica per il limite superiore.

Risoluzione.

Espansione binomiale:

$a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \prod_{j=0}^{k-1}\left(1 - \frac{j}{n}\right).$

Ogni addendo è crescente in $n$ : il prodotto $\prod_{j=0}^{k-1}(1 - j/n)$ aumenta quando $n$ aumenta. Quindi $a_n$ è crescente.
Limite superiore: ogni addendo è al massimo $1/k!$ , quindi:

$a_n \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1 + \frac{1}{1 - 1/2} = 3.$

Dal teorema della monotona limitata, $(a_n)$ converge. Per definizione, il suo limite è $e \approx 2{,}71828$ .

Verifica. $a_{10} \approx 2{,}5937$ , $a_{100} \approx 2{,}7048$ , $a_{1000} \approx 2{,}7169$ . Crescendo verso $e$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1, Example 5.9 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· Successione ricorsiva: punto fisso e sezione aurea

Problema. Sia $F_n$ la successione di Fibonacci con $F_1 = F_2 = 1$ e $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ . Determina $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$ .

Strategia. Definiamo $r_n = F_{n+1}/F_n$ e deriviamo una ricorrenza per $r_n$ . Se la successione $r_n$ converge, il suo limite soddisfa un'equazione di punto fisso.

Risoluzione.

Ricorrenza per $r_n$ : Dall'identità $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , dividendo per $F_{n+1}$ :

$r_{n+1} = \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} = 1 + \frac{F_n}{F_{n+1}} = 1 + \frac{1}{r_n}.$

Valori iniziali: $r_1 = 1$ , $r_2 = 2$ , $r_3 = 3/2 = 1{,}5$ , $r_4 = 5/3 \approx 1{,}667$ , $r_5 = 8/5 = 1{,}6$ , $r_6 = 13/8 = 1{,}625$ . La successione oscilla convergendo.
Equazione di punto fisso: Se $r_n \to L$ , prendendo il limite nella ricorrenza:

$L = 1 + \frac{1}{L} \implies L^2 - L - 1 = 0 \implies L = \frac{1 + \sqrt 5}{2} = \varphi \approx 1{,}618.$

(Radice negativa scartata perché $L > 0$ .)

Verifica. $r_{10} = 89/55 \approx 1{,}6182$ , $r_{15} = 987/610 \approx 1{,}6180$ . Converge a $\varphi$ .

Fonte. Active Calculus, §8.1, Activity 8.1.6 — Boelkins · CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 5· Capitalizzazione composta e il limite e^r (modellazione finanziaria)

Problema. Una banca offre il 12% annuale con capitalizzazione $n$ volte per anno. Quale è l'importo finale su R $1.000 quando$ n \to \infty $? Confronta con capitalizzazione annuale ($ n = 1 $) e mensile ($ n = 12$).

Strategia. Esprimiamo l'importo come $A_n = 1000 \cdot (1 + r/n)^n$ e calcoliamo il limite usando il limite fondamentale $(1 + x/n)^n \to e^x$ .

Risoluzione.

Identifica $r = 0{,}12$ . L'importo dopo 1 anno con $n$ capitalizzazioni è:

$A_n = 1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{n}\right)^n.$

Usa il limite: $\left(1 + r/n\right)^n \to e^r$ quando $n \to \infty$ :

$A_\infty = 1000 \cdot e^{0{,}12} = 1000 \cdot 1{,}12749\ldots \approx \mathrm{R\$}\ 1127{,}50.$

Confronta le tre situazioni:

Capitalizzazione	Formula	Importo
Annuale ( $n=1$ )	$1000 \cdot (1{,}12)^1$	R$ 1.120,00
Mensile ( $n=12$ )	$1000 \cdot (1{,}01)^{12}$	R$ 1.126,83
Continua ( $n \to \infty$ )	$1000 \cdot e^{0{,}12}$	R$ 1.127,50

La differenza tra capitalizzazione continua e mensile è di solo R$ 0,67 per anno.

Verifica. $e^{0{,}12} = 1{,}12749...$ . Per $n = 365$ (giornaliera): $(1 + 0{,}12/365)^{365} \approx 1{,}12747$ — praticamente uguale al continuo.

Fonte. Active Calculus, §8.1, Preview Activity 8.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

44 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 5Modeling 8Challenge 2Proof 2

Ex. 49.1Application
Determina $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}$ . Risolvi sul quaderno e verifica per $n = 100$ e $n = 10000$ .
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Ex. 49.2Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n}{n^2 + 2}$ .
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Ex. 49.3Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1}$ .
Solve online
Ex. 49.4Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n}$ .
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Ex. 49.5Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\cos^2 n}{n}$ .
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Ex. 49.6Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}$ .
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Ex. 49.7Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ .
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Ex. 49.8ApplicationAnswer key
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ . Disegna i primi 10 termini sul quaderno e traccia l'approssimazione a $e$ .
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Ex. 49.9Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n$ .
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Ex. 49.10ApplicationAnswer key
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n^{1/n}$ .
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Ex. 49.11Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!}$ .
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Ex. 49.12Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}$ .
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Ex. 49.13ApplicationAnswer key
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$ .
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Ex. 49.14Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ .
Solve online
Ex. 49.15Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ .
Solve online
Ex. 49.16Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (3^n + 4^n)^{1/n}$ .
Solve online
Ex. 49.17Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)$ .
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Ex. 49.18Understanding
La successione di somme parziali $H_n = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \cdots + \tfrac{1}{n}$ (serie armonica): converge o diverge?
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Ex. 49.19UnderstandingAnswer key
La successione di somme parziali $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ : converge? A quale valore?
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Ex. 49.20Application
Determina se $a_n = (-1)^n$ converge o diverge. Giustifica usando la definizione epsilon- $N$ o un argomento di unicità.
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Ex. 49.21Application
Sia $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}\!\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)$ (metodo di Erone per $\sqrt{2}$ ). Calcola $\lim a_n$ .
Solve online
Ex. 49.22Application
Sia $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ . Determina $\lim_{n \to \infty} a_n$ .
Solve online
Ex. 49.23Application
Sia $a_0 = 0$ e $a_{n+1} = \dfrac{a_n + 3}{2}$ . Determina $\lim a_n$ .
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Ex. 49.24ApplicationAnswer key
Sia $F_n$ la successione di Fibonacci. Determina $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$ .
Solve online
Ex. 49.25Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!}$ .
Solve online
Ex. 49.26ApplicationAnswer key
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^n$ .
Solve online
Ex. 49.27Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ .
Solve online
Ex. 49.28Application
Calcola $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$ .
Solve online
Ex. 49.29Application
Sia $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = \dfrac{1}{1 + a_n}$ . Calcola $\lim a_n$ .
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Ex. 49.30Understanding
Per $0 < r < 1$ , la successione di somme parziali $S_n = \sum_{k=0}^n r^k$ : mostra che è crescente e limitata superiormente, quindi convergente. A quale valore?
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Ex. 49.31ModelingAnswer key
R $1.000 investiti per 1 anno al 6% annuale con capitalizzazione$ n $volte all'anno. Quale l'importo quando$ n \to \infty$?
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Ex. 49.32ModelingAnswer key
Un'attività paga R$ 10 mensili indefinitamente (perpetuità). Con tasso di interesse del 5% mensile, quale è il valore presente di questo flusso? Usa la formula di serie geometrica.
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Ex. 49.33Modeling
La serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ converge? Se sì, calcola la somma.
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Ex. 49.34Modeling
Una palla è lasciata cadere da 5 metri di altezza e ogni salto raggiunge il 90% dell'altezza precedente. Quale la distanza totale percorsa?
Solve online
Ex. 49.35Modeling
Una società paga dividendi di R$ 100 mensili indefinitamente. Con tasso di sconto dell'1% mensile, quale è il valore equo della società oggi?
Solve online
Ex. 49.36Modeling
R$ 1.000 investiti al 12% annuale con capitalizzazione continua rendono quanto dopo 1 anno? Confronta con capitalizzazione annuale.
Solve online
Ex. 49.37ModelingAnswer key
In economia, ogni R $di reddito speso$ 2/3 $e risparmiato$ 1/3 $(propensione marginale a consumare$ c = 2/3 $). Quale l'effetto totale (moltiplicatore keynesiano) di un aumento iniziale di R$ 1 nel reddito?
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Ex. 49.38ModelingAnswer key
Un finanziamento paga R$ 500 mensili indefinitamente all'1% mensile. Calcola il valore presente totale usando il limite della serie geometrica.
Solve online
Ex. 49.39Understanding
La successione $a_n = n$ è convergente? Giustifica usando la definizione epsilon- $N$ .
Solve online
Ex. 49.40Understanding
Prova che la successione di somme parziali $S_n = \sum_{k=0}^n (1/2)^k$ è crescente e limitata superiormente, quindi converge dal teorema della monotona limitata.
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Ex. 49.41ChallengeAnswer key
Calcola $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ . Calcola le prime 5 somme parziali sul quaderno per confermare la convergenza.
Solve online
Ex. 49.42Challenge
Dimostra che $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge. Calcola $S_{10}$ e confronta con $\pi^2/6$ .
Solve online
Ex. 49.43Proof
Dimostra rigorosamente via epsilon- $N$ che $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ .
Solve online
Ex. 49.44Proof
Prova il teorema dell'algebra dei limiti: se $\lim a_n = L$ e $\lim b_n = M$ , allora $\lim (a_n + b_n) = L + M$ .
Solve online

Fonti

Lebl — Basic Analysis: Introduction to Real Analysis — Jiří Lebl · CC-BY-NC-SA · §2.1–2.4 (Successioni). Definizione epsilon-N rigorosa, unicità, Cauchy, Bolzano-Weierstrass. Riferimento primario per il rigore.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §8.1 (Successioni) e §8.2 (Serie geometriche). Attività con successioni ricorsive, Fibonacci, applicazioni finanziarie.
OpenStax Calculus Volume 2 — Strang et al. · CC-BY-NC-SA 4.0 · §5.1 (Successioni). Limiti notevoli, gerarchia di crescita, esercizi di esercitazione con soluzioni complete.