Lezione 50 — Consolidamento Trim 5: limiti e continuità

Calcolare $\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 1)$.

Calcolare $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$.

Calcolare $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{x}$.

Calcolare $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$.

Calcolare $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^x$.

Calcolare $\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 + x}{x^2 - 5}$.

Calcolare $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$.

Calcolare $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{\sin(3x)}$.

Calcolare $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$.

Calcolare $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + 5x)}{x}$.

Sia $f(x) = \sin x / x$ per $x \neq 0$ e $f(0) = 1$. Verifica le tre condizioni di continuità in $x = 0$.

Determina $a$ tale che $f(x) = x + a$ (se $x < 0$) e $f(x) = x^2 + 1$ (se $x \geq 0$) sia continua in $x = 0$.

Classifica le discontinuità di $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$.

Usa il TVI per mostrare che $f(x) = x^3 - 2x - 1$ ha radice reale in $(1, 2)$.

Mostra che $\cos x = x^2$ ha soluzione in $(0, 1)$ via TVI. Calcola $g(0)$ e $g(1)$ esplicitamente.

Quale affermazione su continuità e limiti è corretta?

In circuito RC, $V(t) = V_\infty(1 - e^{-t/RC})$. Qual è il tempo per $V$ raggiungere il 99% di $V_\infty$? Qual è $\lim_{t \to \infty} V(t)$?

In decadimento radioattivo $N(t) = N_0 e^{-t/\tau}$, calcola l'emivita in termini di $\tau$ e $\lim_{t \to \infty} N(t)$.

Spiega perché il Teorema di Weierstrass richiede l'intervallo $[a, b]$ chiuso e limitato. Dai un controesempio in ogni caso (intervallo aperto e intervallo illimitato).

Mostra che $e^x = 5x$ ha soluzione in $(0, 2)$ via TVI. Calcola $g(0)$ e $g(2)$ numericamente.

Determina $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}$ e $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}$. Il limite bilaterale $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ esiste?

Determina gli asintoti di $f(x) = \dfrac{x + 3}{x - 2}$.

Determina tutti gli asintoti di $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 2}$.

Determina gli asintoti di $f(x) = \arctan x + \dfrac{1}{x}$.

Qual è la condizione necessaria e sufficiente affinché $\lim_{x \to a} f(x)$ esista?

Calcolare $\lim_{x \to \pi/2^-} \tan(x) \cdot (\pi/2 - x)$.

Descrivi il comportamento asintotico di $f(x) = e^{-x}$: identifica asintoti orizzontali e verticali, se esistono. Interpreta il grafico.

In controllo, $H(s) = \dfrac{s+1}{s^2 + 4s + 5}$. Calcola $H(0)$ e $\lim_{|s| \to \infty} H(s)$. Classifica il filtro.

Usa il teorema del confronto per calcolare $\lim_{x \to 0} x^2 \sin^2(1/x)$.

Calcolare $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{2}{n}\right)^n$.

Calcolare $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{x}$.

Calcolare $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - x}{x^3}$.

Calcolare $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x^2}$.

Perché $\lim_{x \to 0} \sin x / x = 1$ è valido in radianti ma non in gradi? Quale sarebbe il valore di questo limite se $x$ fosse in gradi?

Calcolare $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$.

Capitale $P$ investito con interessi composti $n$ volte all'anno al tasso $R$: montante $= P(1 + R/n)^n$. Calcola $\lim_{n \to \infty}(1 + R/n)^n$ e interpreta nel contesto della capitalizzazione continua.

Analizza $\lim_{x \to 0} (\sin x)^{1/x}$: calcola i limiti laterali e di se il bilaterale esiste.

Dimostra via definizione $\varepsilon$-$\delta$ che $\lim_{x \to 3}(2x - 1) = 5$.

Dimostra via definizione $\varepsilon$-$\delta$ che $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$. Scegli $\delta$ esplicitamente in funzione di $\varepsilon$.

Calcolare $\lim_{n \to \infty} (n!)^{1/n^2}$. Usa l'approssimazione di Stirling: $\ln(n!) \approx n \ln n - n$.

La successione $a_n = \dfrac{2n+1}{3n-2}$ converge o diverge? Se converge, calcola il limite.

Calcolare $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n!}{n^n}$.

La successione $a_n = (-1)^n / n$ converge? Se sì, a quale valore?

Qual è la relazione tra successioni di Cauchy e successioni convergenti in $\mathbb{R}$?

Enuncia il Teorema della Successione Monotona Limitata. Perché la condizione di monotonia è necessaria oltre la limitazione? Dai un controesempio.

Calcolare $\lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{1 + (k/n)^2}$. Interpreta come integrale di Riemann.

La successione $(\sin n)_{n \in \mathbb{N}}$ ha qualche sottosuccessione convergente? Giustifica invocando il teorema corretto.

Calcolare $\lim_{n \to \infty} n^{1/n}$.

Sia $f(x) = x\cos(1/x)$ per $x \neq 0$ e $f(0) = 0$. Verifica se $f$ è continua in 0. Verifica se $f$ è derivabile in 0. Giustifica ogni risposta.

Come la definizione di derivata $f'(a)$ è un caso speciale di limite? Interpreta geometricamente il passaggio da secante a tangente.