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Lezione 51 — Derivata: definizione tramite limite

Derivata come limite del tasso di variazione media. Retta tangente. Differenziabilità implica continuità, ma non viceversa. Calcolo dalla definizione per funzioni elementari.

Used in: 2.º ano do EM (16–17 anos) · Equiv. Math II japonês (微分) · Equiv. Klasse 11 alemã (Analysis)

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definizione rigorosa e teoremi

Definizione di derivata

"We say that a function $f$ is differentiable at $x = a$ whenever $f'(a)$ exists. […] The derivative measures the instantaneous rate of change of the function, as well as the slope of the tangent line to the function at the given point." — Boelkins, Active Calculus §1.3

"The derivative of a function $f(x)$ at a point $a$ in its domain, if it exists, is $f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.1

Notazioni equivalenti

f'(x) \;=\; \frac{df}{dx} \;=\; \frac{dy}{dx} \;=\; Df(x) \;=\; \dot{f}(x)

what this means · Tutte le notazioni sottostanti rappresentano lo stesso oggetto — la derivata di f. Leibniz (dy/dx), Lagrange (f'), Newton (f con punto) e l'operatore D sono le più usate.

L'espressione $\frac{df}{dx}\Big|_{x=a}$ denota la derivata valutata nel punto $a$ .

Dalla secante alla tangente — geometria del limite

La retta secante (arancione) passa per i punti (a, f(a)) e (a+h, f(a+h)). Conforme h → 0, la secante ruota fino a coincidere con la retta tangente (dorata). La derivata è il coefficiente angolare di questo limite.

Retta tangente e retta normale

Essendo $f$ differenziabile in $a$ :

Retta tangente in $(a, f(a))$ : $\quad y - f(a) = f'(a)(x - a)$
Retta normale in $(a, f(a))$ (perpendicolare alla tangente, se $f'(a) \neq 0$ ): $\quad y - f(a) = -\dfrac{1}{f'(a)}(x - a)$

Teorema fondamentale di differenziabilità

"If $f$ is differentiable at $a$ , then $f$ is continuous at $a$ . […] The converse is not true, and a function can be continuous but fail to be differentiable at a point." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.2

Punti di non-differenziabilità

Derivate fondamentali dalla definizione

Funzione $f(x)$	$f'(x)$
$c$ (costante)	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{Z}$ )	$n x^{n-1}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Esempi risolti

Example— 1· Derivata di $x^2$ dalla definizione

Problema: Usa la definizione di derivata per calcolare $f'(x)$ essendo $f(x) = x^2$ .

Strategia: Applichiamo direttamente $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ e semplifichiamo algebricamente per eliminare $h$ dal denominatore prima di prendere il limite.

Risoluzione:

Calcola $f(a+h)$ : $f(a+h) = (a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$
Monta il quoziente incrementale: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h}$
Cancella $h$ (valido poiché $h \neq 0$ nel processo limite): $\frac{2ah + h^2}{h} = \frac{h(2a + h)}{h} = 2a + h$
Prendi il limite: $f'(a) = \lim_{h \to 0}(2a + h) = 2a$

Poiché $a$ è arbitrario, la funzione derivata è $f'(x) = 2x$ .

Verifica: In $x = 3$ , $f'(3) = 6$ . La retta tangente passa per $(3, 9)$ con inclinazione 6: $y = 6x - 9$ . Punto di controllo: $f(3{,}1) = 9{,}61$ e $y(3{,}1) = 6(3{,}1) - 9 = 9{,}6$ — la tangente approssima bene il grafico per $h$ piccolo. $\checkmark$

Fonte. Active Calculus, §1.3, Activity 1.3.2 — licenza CC-BY-SA 4.0.

Example— 2· Derivata di $1/x$ dalla definizione

Problema: Calcola $f'(a)$ per $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , con $a \neq 0$ , usando la definizione.

Strategia: Il passo critico è combinare le frazioni al numeratore in frazione singola, il che permette di cancellare $h$ dal denominatore.

Risoluzione:

Quoziente incrementale: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h}$
Combina le frazioni al numeratore (minimo comune multiplo $a(a+h)$ ): $= \frac{\dfrac{a - (a+h)}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{h \cdot a(a+h)}$
Cancella $h$ : $= \frac{-1}{a(a+h)}$
Prendi il limite $h \to 0$ : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{a(a+h)} = \frac{-1}{a \cdot a} = -\frac{1}{a^2}$

Risultato: $(1/x)' = -1/x^2$ . Geometricamente: l'iperbole $y = 1/x$ ha tangente con inclinazione negativa per ogni $x \neq 0$ — la funzione è sempre decrescente nei semipiani $x > 0$ e $x < 0$ .

Verifica: In $a = 2$ : $f'(2) = -1/4$ . Retta tangente: $y - 1/2 = -\tfrac{1}{4}(x-2) \Rightarrow y = -x/4 + 1$ . In $x = 2{,}1$ : la tangente dà $0{,}475$ ; $f(2{,}1) = 1/2{,}1 \approx 0{,}476$ . $\checkmark$

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §3.1, Example 3.6 — licenza CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Equazione della retta tangente a $x^3$

Problema: Trova l'equazione della retta tangente al grafico di $f(x) = x^3$ nel punto $x = 2$ .

Strategia: La retta tangente ha equazione $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . Abbiamo bisogno di $f(a)$ e $f'(a)$ .

Risoluzione:

Calcola $f(2) = 2^3 = 8$ . Il punto di tangenza è $(2, 8)$ .
Calcola $f'(a)$ via definizione: $\frac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \frac{a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - a^3}{h} = \frac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2$

$f'(a) = \lim_{h \to 0}(3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2$

Quindi $f'(2) = 3 \cdot 4 = 12$ .

Equazione della retta tangente: $y - 8 = 12(x - 2) \implies y = 12x - 16$

Verifica: In $x = 2{,}1$ : $f(2{,}1) = (2{,}1)^3 = 9{,}261$ ; tangente: $y = 12(2{,}1) - 16 = 9{,}2$ . Errore assoluto $0{,}061$ — cresce con $h^2$ come atteso per un'approssimazione lineare. $\checkmark$

Fonte. APEX Calculus, §2.1, Example 2.1.3 — licenza CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Non-differenziabilità: lo spigolo del modulo

Problema: Investiga se $f(x) = |x|$ è differenziabile in $x = 0$ .

Strategia: Calcoliamo le derivate laterali $f'_-(0)$ e $f'_+(0)$ separatamente. Se differiscono, $f$ non è differenziabile in $0$ .

Risoluzione:

Derivata laterale destra ( $h \to 0^+$ , quindi $h > 0$ , allora $|h| = h$ ): $f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$
Derivata laterale sinistra ( $h \to 0^-$ , quindi $h < 0$ , allora $|h| = -h$ ): $f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$
Conclusione: $f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$ .

Poiché le derivate laterali differiscono, $f(x) = |x|$ non è differenziabile in $x = 0$ — esiste uno spigolo nel grafico. Nota che $f$ è continua in $0$ (poiché $\lim_{x\to 0}|x| = 0 = |0|$ ), confermando che la continuità non implica differenziabilità.

Verifica: Il grafico di $|x|$ ha inclinazione $+1$ per $x > 0$ e $-1$ per $x < 0$ . Non esiste unica retta tangente in $x = 0$ . $\checkmark$

Fonte. Active Calculus, §1.7, Activity 1.7.3 — licenza CC-BY-SA 4.0.

Example— 5· Costo marginale — applicazione economica

Problema: Un'azienda produce $q$ unità di un prodotto con costo totale $C(q) = q^2 + 30q + 500$ euro. Calcola il costo marginale in $q = 50$ unità usando la definizione di derivata e interpreta il risultato.

Strategia: Costo marginale = $C'(q)$ , il tasso di variazione istantaneo del costo rispetto alla quantità. Calcoliamo dalla definizione e valutiamo in $q = 50$ .

Risoluzione:

Quoziente incrementale: $\frac{C(q+h) - C(q)}{h} = \frac{(q+h)^2 + 30(q+h) + 500 - (q^2 + 30q + 500)}{h}$

$= \frac{q^2 + 2qh + h^2 + 30q + 30h + 500 - q^2 - 30q - 500}{h} = \frac{2qh + h^2 + 30h}{h}$

$= 2q + h + 30$

Prendi il limite: $C'(q) = \lim_{h \to 0}(2q + h + 30) = 2q + 30$
Valuta in $q = 50$ : $C'(50) = 2(50) + 30 = 130 \text{ euro}$

Interpretazione: Al produrre 50 unità, ogni unità aggiuntiva costa approssimativamente €130. Osserva che $C(51) - C(50) = (2601 + 1530 + 500) - (2500 + 1500 + 500) = 4631 - 4500 = 131$ euro — il costo marginale sottostima di €1 (differenza di secondo ordine in $h$ ).

Verifica: $C'(q) = 2q + 30 > 0$ per ogni $q > 0$ : costi crescenti, come atteso. In $q = 0$ : $C'(0) = 30$ — costo marginale della prima unità è €30. $\checkmark$

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §3.1, Esempio applicato — costo marginale — licenza CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 10Modeling 7Challenge 2 1

Ex. 51.1ApplicationAnswer key
Calcola $f'(3)$ per $f(x) = x^2$ usando la definizione di derivata. (Risp: $6$ .)
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Ex. 51.2ApplicationAnswer key
Calcola $f'(a)$ per $f(x) = x^3$ usando la definizione. (Risp: $3a^2$ .)
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Ex. 51.3Application
Calcola $f'(a)$ per $f(x) = c$ (costante reale) dalla definizione. (Risp: $0$ .)
Solve online
Ex. 51.4Application
Calcola $f'(a)$ per $f(x) = mx + b$ (funzione affine) dalla definizione. (Risp: $m$ .)
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Ex. 51.5Application
Calcola $f'(2)$ per $f(x) = 2x^2 + 3x$ via definizione. (Risp: $11$ .)
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Ex. 51.6Application
Calcola $f'(1)$ per $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ via definizione. (Risp: $-1$ .)
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Ex. 51.7Application
Calcola la funzione derivata $f'(x)$ per $f(x) = 2x^2 - x + 3$ via definizione. (Risp: $4x - 1$ .)
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Ex. 51.8Application
Usa la definizione per calcolare $f'(a)$ essendo $f(x) = x^4$ . (Risp: $4a^3$ .)
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Ex. 51.9ApplicationAnswer key
Calcola $f'(0)$ per $f(x) = x^2 - x$ via definizione. (Risp: $-1$ .)
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Ex. 51.10Application
Calcola $f'(a)$ per $f(x) = 2x^3 - 2x$ via definizione. (Risp: $6a^2 - 2$ .)
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Ex. 51.11ApplicationAnswer key
Calcola $f'(2)$ per $f(x) = 1/x$ via definizione. (Risp: $-1/4$ .)
Solve online
Ex. 51.12Application
Calcola $f'(4)$ per $f(x) = \sqrt{x}$ via definizione. (Risp: $1/4$ .)
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Ex. 51.13Application
Calcola $f'(1)$ per $f(x) = 1/x$ via definizione e scrivi l'equazione della retta tangente in $x = 1$ . (Risp: $f'(1) = -1$ ; tangente $y = -x + 2$ .)
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Ex. 51.14ApplicationAnswer key
Determina l'equazione della retta tangente a $y = x^2$ nel punto $x = 2$ .
Solve online
Ex. 51.15Application
Determina l'equazione della retta tangente a $y = 1/x$ nel punto $x = 1$ .
Solve online
Ex. 51.16Application
Per $f(x) = x^2 - 4x$ , in quale valore di $x$ la retta tangente è orizzontale? Determina anche il punto del grafico. (Risp: $x = 2$ ; punto $(2, -4)$ .)
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Ex. 51.17ApplicationAnswer key
Calcola $f'(9)$ per $f(x) = \sqrt{x}$ via definizione. (Risp: $1/6$ .)
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Ex. 51.18Application
Calcola $f'(a)$ per $f(x) = 1/x^2$ via definizione. (Risp: $-2/a^3$ .)
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Ex. 51.19Application
Equazione della retta tangente a $y = x^3$ in $x = 2$ .
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Ex. 51.20Application
Determina l'equazione della retta normale a $y = x^2$ nel punto $x = 1$ . (Risp: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ .)
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Ex. 51.21Understanding
La funzione $f(x) = |x|$ è differenziabile in $x = 0$ ? Giustifica calcolando le derivate laterali.
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Ex. 51.22Understanding
La funzione $f(x) = x|x|$ è differenziabile in $x = 0$ ? (Risp: sì, $f'(0) = 0$ .)
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Ex. 51.23Understanding
Analizza $f(x) = \sqrt[3]{x}$ in $x = 0$ . Il limite del quoziente incrementale esiste? (Risp: $+\infty$ — tangente verticale.)
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Ex. 51.24Understanding
Sia $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ 3x - 2 & x > 1 \end{cases}$ . È $f$ differenziabile in $x = 1$ ? Calcola le derivate laterali. (Risp: non differenziabile; $f'_-(1) = 2 \neq 3 = f'_+(1)$ .)
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Ex. 51.25Understanding
Sia $f(x) = x^2\sin(1/x)$ per $x \neq 0$ e $f(0) = 0$ . Mostra che $f'(0) = 0$ . (Risp: usa il teorema del confronto — $|h\sin(1/h)| \leq |h| \to 0$ .)
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Ex. 51.26Understanding
Sia $f(x) = x\sin(1/x)$ per $x \neq 0$ e $f(0) = 0$ . La funzione è differenziabile in $x = 0$ ?
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Ex. 51.27UnderstandingAnswer key
Sia $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \geq 0 \\ -x^2 & x < 0 \end{cases}$ . Calcola $f'(0)$ tramite le derivate laterali. (Risp: $f'(0) = 0$ .)
Solve online
Ex. 51.28UnderstandingAnswer key
Interpreta geometricamente: cosa significa $f'(a) > 0$ , $f'(a) < 0$ e $f'(a) = 0$ ?
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Ex. 51.29Understanding
Qual è la relazione corretta tra differenziabilità e continuità?
Solve online
Ex. 51.30Understanding
Spiega, con un esempio numerico, perché la differenza centrale $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ è più precisa numericamente che la differenza forward $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .
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Ex. 51.31Modeling
Un oggetto si muove con posizione $s(t) = 2t^2$ metri. Qual è la sua velocità istantanea in $t = 2$ s?
Solve online
Ex. 51.32ModelingAnswer key
Posizione $s(t) = t^2 + 5t$ metri. Calcola la velocità istantanea in $t = 3$ s dalla definizione di derivata. (Risp: $11$ m/s.)
Solve online
Ex. 51.33ModelingAnswer key
Costo $C(q) = q^2 + 30q + 500$ euro. Qual è il costo marginale in $q = 50$ unità?
Solve online
Ex. 51.34Modeling
Popolazione $P(t) = 100 + 5t^2$ individui. Calcola il tasso di crescita in $t = 4$ anni dalla definizione di derivata. (Risp: $40$ individui/anno.)
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Ex. 51.35Modeling
Nel machine learning, la funzione di perdita è $L(\theta) = (\theta - 3)^2$ . Calcola $L'(\theta)$ via definizione e trova il $\theta$ che minimizza $L$ . (Risp: $L'(\theta) = 2\theta - 6$ ; minimo in $\theta = 3$ .)
Solve online
Ex. 51.36Modeling
Carica elettrica $q(t) = t^2 + 2t$ coulomb. La corrente $i(t) = q'(t)$ . Calcola $i(2)$ .
Solve online
Ex. 51.37Modeling
Volume di una sfera $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ . Calcola il tasso di variazione del volume rispetto al raggio in $r = 2$ cm. (Risp: $16\pi$ cm³/cm. Bonus: collega il risultato con l'area della superficie.)
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Ex. 51.38Challenge
Determina $k$ tale che $f(x) = x^2 + kx$ abbia retta tangente orizzontale nel punto $x = -3/2$ . (Risp: $k = 3$ .)
Solve online
Ex. 51.39Challenge
Prova che se $f$ è una funzione pari e differenziabile in $x = 0$ , allora $f'(0) = 0$ . (Suggerimento: usa la definizione delle derivate laterali e la proprietà $f(-x) = f(x)$ .)
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Ex. 51.40
Sia $h(x) = f(x) + g(x)$ , con $f$ e $g$ differenziabili in $a$ . Usa la definizione di derivata per dimostrare che $h'(a) = f'(a) + g'(a)$ (regola della somma).
Solve online

Fonti

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-SA 4.0. Capitoli §1.1 (velocità istantanea), §1.3 (derivata in un punto), §1.4 (derivata come funzione), §1.7 (limiti, continuità e differenziabilità). Fonte primaria. Attività guidate su secante→tangente, interpretazione grafica e gli spigoli del modulo.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · Herman, Strang et al. · CC-BY-NC-SA 4.0. Capitoli §3.1 (Defining the Derivative), §3.2 (The Derivative as a Function). Esercizi estensivi con calcolo dalla definizione e applicazioni in fisica, economia e biologia.
APEX Calculus — Hartman et al. · 5ª ed. · CC-BY-NC 4.0. Capitolo §2.1 (Instantaneous Rates of Change). Trattamento formale con esempi di retta tangente e normale, tabella di derivate fondamentali dalla definizione.