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Lezione 52 — Regole di derivazione

Le regole algebriche di derivazione — potenza, costante moltiplicativa, somma, prodotto, quoziente — e le derivate delle funzioni elementari. Mai più limiti nella pratica.

Used in: 2º anno della scuola superiore (16 anni) · Equiv. AP Calculus AB Unit 2 · Equiv. Calculus I §3.3–3.5 · Equiv. Math III giapponese cap. 3

(fg)' = f'g + fg'

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definizioni e teoremi formali

Tabella di derivate elementari

Definition· Derivate delle funzioni elementari

Sia $f$ derivabile in $x$ . Le derivate sottostanti sono conseguenze dirette della definizione per limite e sono considerate risultati fondamentali:

Funzione $f(x)$	Derivata $f'(x)$	Condizione
$c$ (costante)	$0$	$c \in \mathbb{R}$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	$\sec^2 x$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
$e^x$	$e^x$	—
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0, a \neq 1$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	$x > 0, a > 0, a \neq 1$

Regole operatorie

Theorem· Regole di derivazione (Leibniz e Cauchy)

Siano $f$ e $g$ funzioni derivabili in $x$ , e $c \in \mathbb{R}$ costante. Allora:

(c)' = 0

(R1)

what this means · Costante: la derivata di qualsiasi numero costante è zero, poiché non c'è variazione.

(x^n)' = n x^{n-1}

(R2)

what this means · Regola della potenza: l'esponente scende come coefficiente e diminuisce di 1. Valida per qualsiasi esponente reale.

(c f)' = c f'

(R3)

what this means · Multiplo costante: le costanti attraversano la derivata senza alterazione.

(f \pm g)' = f' \pm g'

(R4)

what this means · Somma e differenza: la derivata si distribuisce su somme e differenze.

(fg)' = f'g + fg'

(R5)

what this means · Regola del prodotto (Leibniz): il prodotto genera due termini. Ciascuno differenzia uno dei fattori, mantenendo l'altro intatto.

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g \neq 0

(R6)

what this means · Regola del quoziente: numeratore è f primo g meno f g primo; denominatore è g al quadrato. Il segno meno al numeratore è critico — non invertire l'ordine.

"Se $f$ e $g$ sono funzioni derivabili, allora la derivata del prodotto $(fg)'$ esiste ed è data da $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ ." — Active Calculus §2.3

Dimostrazione della regola del prodotto

Theorem· Prova della regola del prodotto dalla definizione

Sia $h(x) = f(x) g(x)$ . Per definizione:

$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)\,g(x + \Delta x) - f(x)\,g(x)}{\Delta x}$

Somma e sottrai $f(x+\Delta x)\,g(x)$ al numeratore:

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[f(x+\Delta x) - f(x)]\,g(x+\Delta x) + f(x)\,[g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x}$

Separando i limiti e usando la continuità di $g$ (ogni funzione derivabile è continua, quindi $g(x + \Delta x) \to g(x)$ ):

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x) + f(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\blacksquare$

Esempi risolti

Example— 1· Derivata di polinomio (applicazione diretta delle regole R2–R4)

Problema: Calcola $f'(x)$ per $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .

Strategia: Polinomio = somma di monomi. Applica R4 (linearità), R2 (potenza) e R1 (costante) termine per termine.

Risoluzione:

$f'(x) = (4x^5)' - (3x^3)' + (7x)' - (2)'$

Applicando R3 (multiplo costante) e R2 (potenza):

$= 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 - 0$

$= 20x^4 - 9x^2 + 7$

Verifica: Ogni esponente è diminuito di 1; ogni coefficiente ha moltiplicato l'esponente originale. La costante $-2$ è scomparsa (R1). Corretto.

Fonte. Active Calculus §2.1 Exercise 2.1.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Regola del prodotto — polinomiale per trigonometrica

Problema: Calcola $h'(x)$ per $h(x) = x^3 \sin x$ .

Strategia: $h = f \cdot g$ con $f(x) = x^3$ e $g(x) = \sin x$ . Applica R5: $(fg)' = f'g + fg'$ .

Risoluzione:

$f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2$
$g(x) = \sin x \Rightarrow g'(x) = \cos x$

Applicando R5:

$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

Forma fattorizzata (opzionale): $h'(x) = x^2(3 \sin x + x \cos x)$

Verifica: Due termini (corretto per il prodotto). Primo: ha derivato $x^3$ , mantenuto $\sin x$ . Secondo: mantenuto $x^3$ , derivato $\sin x$ . Entrambe le regole elementari applicate correttamente.

Fonte. Active Calculus §2.3 Exercise 2.3.2 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Regola del quoziente — funzione razionale

Problema: Calcola $k'(x)$ per $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .

Strategia: $k = f/g$ con $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = x - 3$ . Applica R6.

Risoluzione:

$f'(x) = 2x$
$g'(x) = 1$

Applicando R6:

$k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{2x(x-3) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-3)^2}$

$= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}$

Attenzione: Il numeratore è $f'g - fg'$ , non $fg' - f'g$ . Il segno meno non è commutativo — invertire l'ordine crea l'errore più frequente in questa regola.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Example 3.28 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Prodotto di esponenziale con trigonometrica

Problema: Calcola $p'(x)$ per $p(x) = e^x \cos x$ .

Strategia: Prodotto di $f(x) = e^x$ e $g(x) = \cos x$ . Applica R5 con le derivate della tabella.

Risoluzione:

$f'(x) = e^x$ (notevole: $e^x$ deriva in se stesso)
$g'(x) = -\sin x$

Applicando R5:

$p'(x) = e^x \cos x + e^x \cdot (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

Verifica: In $x = 0$ : $p(0) = e^0 \cos 0 = 1$ e $p'(0) = e^0(\cos 0 - \sin 0) = 1 - 0 = 1$ . La tangente in $(0, 1)$ ha pendenza 1, che ha senso geometricamente (la funzione cresce con pendenza 1 all'origine).

Fonte. Active Calculus §2.2 Exercise 2.2.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Equazione della retta tangente con punto critico

Problema: Trova l'equazione della retta tangente alla curva $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ nel punto dove $x = 1$ .

Strategia: (a) Calcola $y(1)$ per ottenere il punto di tangenza. (b) Calcola $y'(x)$ con la regola del quoziente. (c) Valuta $y'(1)$ . (d) Scrivi nella forma punto-pendenza.

Risoluzione:

(a) Punto di tangenza:

$y(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$

Punto: $\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$ .

(b) Derivata per quoziente con $f = x$ e $g = x^2 + 1$ :

$y'(x) = \frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$

(c) Coefficiente angolare in $x = 1$ :

$y'(1) = \frac{1 - 1}{(1+1)^2} = \frac{0}{4} = 0$

(d) Equazione della tangente:

$y - \frac{1}{2} = 0 \cdot (x - 1) \implies y = \frac{1}{2}$

La tangente in $x = 1$ è orizzontale — ha senso, poiché $y = x/(x^2+1)$ ha massimo locale in quel punto (la funzione cresce da $x=0$ fino a $x=1$ e poi decresce).

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Exercise 176 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 4Modeling 7Challenge 1Proof 1

Ex. 52.1Application
Calcola $(x^5)'$ .
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Ex. 52.2Application
Calcola la derivata di $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ .
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Ex. 52.3ApplicationAnswer key
Calcola $(\sqrt{x})'$ . Suggerimento: scrivi come $x^{1/2}$ e applica R2.
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Ex. 52.4Application
Calcola $\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'$ .
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Ex. 52.5ApplicationAnswer key
Calcola $f'(x)$ per $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .
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Ex. 52.6Application
Calcola $\left(-\dfrac{1}{x^3}\right)'$ .
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Ex. 52.7Application
Calcola $f'(x)$ per $f(x) = x^2\sqrt{x} - x\sqrt{x}$ .
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Ex. 52.8Application
Calcola $f'(x)$ per $f(x) = x^3 + 2x$ .
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Ex. 52.9Application
Calcola $\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)'$ .
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Ex. 52.10ApplicationAnswer key
Calcola $g'(x)$ per $g(x) = 3x^4 - 3x^2$ .
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Ex. 52.11Application
Calcola $(\sin x \cdot \cos x)'$ .
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Ex. 52.12ApplicationAnswer key
Calcola $(x e^x)'$ .
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Ex. 52.13Application
Calcola $(x \ln x)'$ .
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Ex. 52.14Application
Calcola $(x^2 \sin x)'$ .
Solve online
Ex. 52.15ApplicationAnswer key
Calcola $(e^x \cos x)'$ .
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Ex. 52.16Application
Calcola $(x^2 e^x)'$ .
Solve online
Ex. 52.17ApplicationAnswer key
Calcola $(\tan x \cdot e^x)'$ .
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Ex. 52.18Application
Calcola $(x \sin x)'$ .
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Ex. 52.19Application
Calcola $(x^3 \ln x)'$ .
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Ex. 52.20Understanding
Generalizzazione della regola del prodotto. Se $f$ , $g$ , $h$ sono funzioni derivabili, qual è $(fgh)'$ ?
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Ex. 52.21Application
Calcola $\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)'$ per $x \neq 0$ .
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Ex. 52.22Application
Calcola $\left(\dfrac{e^x}{x}\right)'$ per $x \neq 0$ .
Solve online
Ex. 52.23Application
Calcola $\left(\dfrac{1}{x^2 + 1}\right)'$ .
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Ex. 52.24Application
Calcola $k'(x)$ per $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .
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Ex. 52.25Application
Calcola $\left(\dfrac{3x^2 - x}{x^2 - 1}\right)'$ per $x \neq \pm 1$ .
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Ex. 52.26ApplicationAnswer key
Deriva $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ per la regola del quoziente e mostra che $(\cot x)' = -\csc^2 x$ .
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Ex. 52.27Application
Deriva $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ per la regola del quoziente e mostra che $(\sec x)' = \sec x \tan x$ .
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Ex. 52.28Application
Calcola $\left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)'$ .
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Ex. 52.29ModelingAnswer key
Trova l'equazione della retta tangente a $f(x) = x^2 + 3x$ nel punto $x = 1$ .
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Ex. 52.30ModelingAnswer key
In quali punti il grafico di $f(x) = x^3 - 3x$ ha retta tangente orizzontale?
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Ex. 52.31Modeling
Un oggetto ha posizione $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ metri ( $t$ in secondi). Calcola $v(t)$ e $a(t)$ . Valuta in $t = 2$ e determina quando l'oggetto è fermo.
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Ex. 52.32Modeling
Funzione costo: $C(q) = 500 + 50q + 0{,}1q^2$ (reali). Calcola il costo marginale $C'(q)$ e valuta in $q = 100$ .
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Ex. 52.33Modeling
Ricavo totale: $R(q) = q(200 - q)$ . Calcola il ricavo marginale $R'(q)$ e determina la quantità che massimizza il ricavo.
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Ex. 52.34Modeling
Trova la retta tangente a $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ in $x = 1$ .
Solve online
Ex. 52.35Modeling
Per $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ , determina: (a) la velocità in $t = 2$ ; (b) quando l'oggetto è fermo.
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Ex. 52.36UnderstandingAnswer key
Identificazione dell'errore. Uno studente ha calcolato $(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ . È corretto o sbagliato? Giustifica e correggi se necessario.
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Ex. 52.37Understanding
Identifica quale regola di derivazione si applica a $h(x) = \dfrac{e^x}{x^2}$ , applicala e semplifica $h'(x)$ .
Solve online
Ex. 52.38Understanding
Concetto. Perché la derivata di $e^x$ è "speciale"? Spiega cosa significa $(e^x)' = e^x$ in termini geometrici e numerici.
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Ex. 52.39Challenge
Sfida: prodotto di tre funzioni. Prova che $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$ , applicando la regola del prodotto due volte.
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Ex. 52.40Proof
Dimostrazione. Prova la regola del prodotto $(fg)' = f'g + fg'$ dalla definizione di derivata per limite.
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Fonti

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §2.1 (Regole elementari), §2.2 (Seno e coseno), §2.3 (Prodotto e quoziente). Fonte primaria. CC-BY-NC-SA.
OpenStax Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.3 (Regole di derivazione), §3.4 (Derivate come tassi di variazione), §3.5 (Derivate di trigonometriche). CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §2.3 (Regole basilari), §2.4 (Prodotto e quoziente). CC-BY-NC.

Definizioni e teoremi formali

Tabella di derivate elementari

Regole operatorie

Dimostrazione della regola del prodotto

Retta tangente

Esempi risolti

Fonti