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Lezione 53 — Regola della catena

Derivata di funzione composta: se y = f(g(x)), allora dy/dx = f'(g(x))·g'(x). La regola più usata in tutto il calcolo applicato.

Used in: 2.º anno EM (16 anni) · Equiv. Math II/III giapponese §微分 · Equiv. Klasse 11 tedesca Abitur

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definizione e teoria

Enunciato formale

Definition· Regola della catena

Siano $g$ differenziabile in $x$ e $f$ differenziabile in $g(x)$ . Allora la funzione composta $h(x) = f(g(x))$ è differenziabile in $x$ e:

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

(RC)

what this means · La derivata della composizione è il prodotto della derivata esterna (valutata nel punto interno) per la derivata interna. Leggi da fuori verso dentro.

In notazione di Leibniz, definendo $u = g(x)$ e $y = f(u)$ :

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

(RC-Leibniz)

what this means · La notazione di Leibniz rende la regola visivamente mnemonica: le unità du si 'cancellano' formalmente, come in una frazione.

"La regola della catena afferma che la derivata di $f(g(x))$ è $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ . Cioè, deriviamo la funzione esterna $f$ , valutata nella funzione interna $g(x)$ , e moltiplichiamo per la derivata della funzione interna." — OpenStax Calculus Volume 1, §3.6

"Pensa al processo da fuori verso dentro: identifica la funzione esterna, derivala mantenendo la funzione interna invariata, poi moltiplica per la derivata della funzione interna." — Boelkins, Active Calculus §2.5

Dimostrazione rigorosa

La difficoltà è che $g(x+h) - g(x)$ può essere zero per $h \neq 0$ , invalidando l'argomento ingenuo di cancellare $\Delta g$ . La soluzione usa la funzione ausiliaria:

$Q(y) = \begin{cases} \dfrac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)} & y \neq g(a) \\ f'(g(a)) & y = g(a) \end{cases}$

$Q$ è continua in $g(a)$ (per differenziabilità di $f$ ). Siccome $f(g(a+h)) - f(g(a)) = Q(g(a+h)) \cdot [g(a+h) - g(a)]$ , dividendo per $h$ e prendendo $h \to 0$ otteniamo $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)$ .

Casi speciali fondamentali

Funzione composta	Derivata
$[g(x)]^n$	$n\,[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$
$\sin(g(x))$	$\cos(g(x)) \cdot g'(x)$
$\cos(g(x))$	$-\sin(g(x)) \cdot g'(x)$
$e^{g(x)}$	$e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$\ln(g(x))$	$g'(x)/g(x)$
$\sqrt{g(x)}$	$g'(x) / (2\sqrt{g(x)})$
$a^{g(x)}$	$a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)$

Tripla composizione

Per $h(x) = f(g(k(x)))$ :

(f \circ g \circ k)'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x)

(tripla)

what this means · La regola della catena si generalizza: si moltiplica la derivata di ogni strato, sempre da fuori verso dentro.

Diagramma della composizione

Flusso della composizione: input x, elaborato da g per generare u, poi da f per generare y. Il tasso totale dy/dx è il prodotto dei tassi individuali.

Esempi risolti

Example— 1· Regola della potenza generalizzata — composizione con polinomio

Problema: Calcola la derivata di $h(x) = (x^2 + 1)^5$ .

Strategia: La funzione $h$ è una composizione: la funzione esterna è $u^5$ e la funzione interna è $u = x^2 + 1$ . Applichiamo la regola della catena identificando esplicitamente ogni strato.

Risoluzione:

Identifica gli strati:
- Funzione esterna: $f(u) = u^5$
- Funzione interna: $g(x) = x^2 + 1$
Derivata dello strato esterno: $f'(u) = 5u^4$ . Valutata in $g(x)$ : $f'(g(x)) = 5(x^2+1)^4$ .
Derivata dello strato interno: $g'(x) = 2x$ .
Applicare la catena: $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 5(x^2+1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$

Verifica: Per $x = 0$ : $h(0) = 1^5 = 1$ , $h'(0) = 10 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ . La funzione ha minimo in $x = 0$ (parabola spostata elevata alla 5ª potenza), il che è coerente con $h'(0) = 0$ .

Fonte. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Regola della catena con esponenziale e trigonometria

Problema: Calcola la derivata di $f(x) = e^{\sin x}$ .

Strategia: Composizione con l'esponenziale. La formula $\frac{d}{dx}[e^{g(x)}] = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ è un caso speciale diretto della catena.

Risoluzione:

Strato esterno: $f(u) = e^u$ , derivata $e^u$ .
Strato interno: $g(x) = \sin x$ , derivata $\cos x$ .
Risultato: $f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x$

Interpretazione: La derivata cambia segno sempre che $\cos x = 0$ , cioè in $x = \pi/2 + k\pi$ . Nei massimi di $\sin x$ , la derivata si annulla — poiché $\cos(\pi/2) = 0$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Regola della catena con logaritmo naturale

Problema: Calcola la derivata di $g(x) = \ln(3x^2 + 5)$ .

Strategia: Composizione con il logaritmo. La formula $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))] = \frac{g'(x)}{g(x)}$ è il caso speciale diretto.

Risoluzione:

Strato esterno: $f(u) = \ln u$ , derivata $1/u$ . Valutata in $g(x)$ : $\dfrac{1}{3x^2 + 5}$ .
Strato interno: $g(x) = 3x^2 + 5$ , derivata $g'(x) = 6x$ .
Risultato: $g'(x) = \frac{1}{3x^2 + 5} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 + 5}$

Verifica: Per $x$ grande, $g'(x) \approx \frac{6x}{3x^2} = \frac{2}{x} \to 0$ . Ha senso: il logaritmo cresce sempre più lentamente.

Fonte. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Tripla composizione — catena annidata

Problema: Calcola la derivata di $h(x) = \sin(e^{x^2})$ .

Strategia: Sono tre strati annidati. Applichiamo la regola della catena da fuori verso dentro, uno strato alla volta.

Risoluzione:

Scrivi gli strati esplicitamente:

Strato 1 (più esterno): $f_1(u) = \sin u$ , derivata $\cos u$
Strato 2 (intermedio): $f_2(v) = e^v$ , derivata $e^v$
Strato 3 (più interno): $f_3(x) = x^2$ , derivata $2x$

Applicando la regola della catena da fuori verso dentro:

$h'(x) = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x$

Verifica: Per $x = 0$ : $h'(0) = \cos(1) \cdot 1 \cdot 0 = 0$ . Verificabile numericamente: $h(0+0{,}001) - h(0) \approx 0$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6, Example 3.47 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Catena combinata con regola del prodotto

Problema: Calcola la derivata di $f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2}$ .

Strategia: È un prodotto di due funzioni, una di esse composta. Applichiamo la regola del prodotto prima, poi la catena nel secondo fattore.

Risoluzione:

Identifica i due fattori del prodotto:

$u(x) = x^2$ , derivata $u'(x) = 2x$
$v(x) = e^{-x^2}$ , derivata via catena: $v'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$

Applicando la regola del prodotto $[u \cdot v]' = u' v + u v'$ :

$f'(x) = 2x \cdot e^{-x^2} + x^2 \cdot (-2x e^{-x^2}) = 2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2}$

Fattorizzando $2x e^{-x^2}$ :

$f'(x) = 2x e^{-x^2}(1 - x^2)$

Interpretazione: I punti critici sono $x = 0$ e $x = \pm 1$ . Questa funzione appare nella distribuzione normale: il fattore $(1-x^2)$ determina gli estremi in $x = \pm 1$ .

Fonte. Active Calculus §2.5, Activity 2.5.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 4Modeling 6Challenge 3Proof 1

Ex. 53.1Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}[(2x+3)^5]$ .
Solve online
Ex. 53.2ApplicationAnswer key
Calcola $(\sin(4x))'$ .
Solve online
Ex. 53.3Application
Calcola $(e^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.4Application
Calcola $(\ln(x^2 + 1))'$ .
Solve online
Ex. 53.5Application
Calcola $(\sqrt{x^2+1})'$ .
Solve online
Ex. 53.6Application
Calcola $(\cos^2 x)'$ .
Solve online
Ex. 53.7Application
Calcola $(\tan(2x))'$ .
Solve online
Ex. 53.8Application
Calcola $(\sin(\cos x))'$ .
Solve online
Ex. 53.9Application
Calcola $(e^{\sin x})'$ .
Solve online
Ex. 53.10Application
Calcola $((\ln x)^3)'$ .
Solve online
Ex. 53.11Application
Calcola $(\sqrt{1-x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.12Application
Calcola $\left(\dfrac{1}{x^2+4}\right)'$ .
Solve online
Ex. 53.13ApplicationAnswer key
Calcola $(2^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.14ApplicationAnswer key
Calcola $(\sin^3(2x))'$ .
Solve online
Ex. 53.15ApplicationAnswer key
Calcola $(\arctan(x^2))'$ . (Risp: $2x/(1+x^4)$ .)
Solve online
Ex. 53.16Application
Calcola $(\ln(\sin x))'$ .
Solve online
Ex. 53.17Application
Calcola $(e^{\cos(2x)})'$ .
Solve online
Ex. 53.18Application
Calcola $(\sqrt{\tan x})'$ .
Solve online
Ex. 53.19Application
Calcola $(\sin(\sqrt{x}))'$ .
Solve online
Ex. 53.20Application
Calcola $((3x+5)^{10})'$ .
Solve online
Ex. 53.21ApplicationAnswer key
Calcola $(\cos(3x^2+2))'$ .
Solve online
Ex. 53.22Application
Calcola $(\ln(\ln x))'$ .
Solve online
Ex. 53.23Application
Calcola $(x \cdot \sin(x^2))'$ .
Solve online
Ex. 53.24ApplicationAnswer key
Calcola $(x \cdot e^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.25Application
Calcola $(\sin(\sqrt{x^2+1}))'$ .
Solve online
Ex. 53.26ApplicationAnswer key
Calcola $(\tan^2(3x))'$ .
Solve online
Ex. 53.27Understanding
Trova la retta tangente alla curva $y = (x^2+1)^3$ nel punto $x = 1$ . (Risp: $y = 24x - 16$ .)
Solve online
Ex. 53.28Understanding
Analisi dell'errore. Uno studente scrive $(e^{x^2})' = xe^{x^2}$ . Qual è lo specifico errore commesso?
Solve online
Ex. 53.29UnderstandingAnswer key
Concettuale. Per derivare $\sin(x^2)$ , quale regola si applica? Perché non è la regola del prodotto?
Solve online
Ex. 53.30Understanding
Calcola $(e^{e^x})'$ .
Solve online
Ex. 53.31Modeling
Fisica. La posizione di una particella in movimento armonico è $s(t) = \sin(\omega t)$ . Calcola l'accelerazione $s''(t)$ e mostra che $s''(t) = -\omega^2 s(t)$ .
Solve online
Ex. 53.32Modeling
Fisica nucleare. Il decadimento radioattivo segue $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ . Calcola $N'(t)$ e mostra che $N'(t) = -\lambda N(t)$ .
Solve online
Ex. 53.33Modeling
Biologia. La crescita logistica è $P(t) = \dfrac{K}{1 + e^{-rt}}$ . Calcola $P'(0)$ .
Solve online
Ex. 53.34Modeling
Statistica. Calcola $f'(x)$ per la densità normale standard $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ .
Solve online
Ex. 53.35ModelingAnswer key
Finanze. Il valore presente di un flusso di cassa $S$ scontato al tasso $r$ è $V(t) = S\,e^{-rt}$ . Calcola $dV/dt$ e interpreta il risultato.
Solve online
Ex. 53.36Modeling
Fisica. L'energia cinetica è $E(v) = \tfrac{1}{2}mv^2$ e la velocità è $v(t) = at$ . Calcola $dE/dt$ via regola della catena e verifica con la derivata diretta.
Solve online
Ex. 53.37Challenge
Calcola $(\sin(\cos(\sin x)))'$ .
Solve online
Ex. 53.38ChallengeAnswer key
Calcola $\dfrac{d}{dx}\left[(x + \sqrt{x^2+1})^n\right]$ .
Solve online
Ex. 53.39Challenge
Calcola $(\sin(e^{x^2}))'$ .
Solve online
Ex. 53.40Proof
Dimostrazione. Spiega perché l'argomento ingenuo $\frac{\Delta f}{\Delta g} \cdot \frac{\Delta g}{h}$ fallisce come dimostrazione rigorosa della regola della catena. Come la funzione ausiliaria $Q(y)$ risolve il problema?
Solve online

Fonti

Active Calculus 2.0 — Boelkins, Austin, Schlicker · 2024 · §2.5. Fonte primaria. CC-BY-NC-SA.
Calculus Volume 1 — OpenStax (Herman et al.) · 2016 · §3.6. CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.5. CC-BY-NC.