Lezione 54 — Derivata implicita

Per il cerchio $x^2 + y^2 = 1$, trova $dy/dx$.

Per l'ellisse $x^2/4 + y^2/9 = 1$, calcola $dy/dx$.

Per $xy = 1$, calcola $dy/dx$ tramite differenziazione implicita. Verifica che corrisponda con derivare $y = 1/x$ esplicitamente.

Per l'iperbole $x^2/9 - y^2/16 = 1$, calcola $dy/dx$.

Per $x^3 + y^3 = 6xy$, calcola $dy/dx$.

Per $x^2 - 2xy + 3y^2 = 1$, calcola $dy/dx$.

Per $x^2 y + xy^2 = 6$, calcola $dy/dx$.

Per $\tan y = x$, calcola $dy/dx$. Interpreta il risultato come la derivata di $\arctan x$.

Per $e^y = xy$, calcola $dy/dx$.

Per $\ln(xy) = x + y$, calcola $dy/dx$.

Per $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$, calcola $dy/dx$ e valuta nel punto $(1, 9)$.

Per $\cos(x + y) = y$, calcola $dy/dx$.

Per $\sin(xy) = x$, calcola $dy/dx$.

Per $y^3 + 3y = x$, calcola $dy/dx$ e discuti se la derivata esiste in tutti i punti.

Trova la retta tangente al cerchio $x^2 + y^2 = 25$ nel punto $(3, 4)$.

Per l'ellisse $x^2 + 4y^2 = 16$, trova la retta tangente nel punto $(2, \sqrt{3})$.

Per $x^2 + xy + y^2 = 7$, trova la retta tangente in $(1, 2)$.

Per $x^3 + y^3 = 9$, trova la retta tangente in $(1, 2)$.

Per $y\sin x = x\cos y$, calcola $dy/dx$.

Per la circonferenza $x^2 + y^2 = 1$, determina tutti i punti di tangente orizzontale e verticale.

Per il Foglio di Descartes $x^3 + y^3 = 3xy$, calcola $dy/dx$ e determina i punti di tangente orizzontale.

Per il Foglio di Descartes $x^3 + y^3 = 3xy$, trova la tangente nel punto $(3/2, 3/2)$.

La legge dei gas ideali dice $PV = nRT$. Mantenendo $T$ costante, usa la differenziazione implicita per trovare $dP/dV$.

Per la curva $y^2 + xy = 12$, determina se esistono punti di tangente orizzontale o verticale.

In microeconomia, la curva di indifferenza $U(x_1, x_2) = \bar{U}$ descrive combinazioni di due beni che lasciano il consumatore indifferente. Usando la differenziazione implicita, trova $dx_2/dx_1$ — il tasso marginale di sostituzione.

Per la lemniscata $(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$, calcola $dy/dx$ nel punto $(\sqrt{3}/2, 1/2)$.

Usa la derivata logaritmica per trovare $y'$ se $y = x^x$ ($x > 0$).

Usa la derivata logaritmica per trovare $y'$ se $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$). Valuta in $x = \pi$.

Per $x^2 + y^2 = r^2$, trova $d^2y/dx^2$ in termini di $x$, $y$ e $r$. Interpreta il segno di $y''$ per $y > 0$.

Per l'ellisse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$, calcola $dy/dx$ e $d^2y/dx^2$.

Perché la condizione $F_y \neq 0$ è necessaria per applicare il Teorema della Funzione Implicita?

Quale è il principale vantaggio della differenziazione implicita rispetto all'isolare $y$ e derivare esplicitamente?

Usa la differenziazione implicita per mostrare che la tangente al cerchio $x^2 + y^2 = r^2$ è sempre perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.

Per una curva $F(x,y)=0$, spiega in quali condizioni la retta tangente esiste, possibilmente verticale, e quando il punto è singolare.

Verifica che derivare $x^2 + y^2 = r^2$ implicitamente dà lo stesso risultato che derivare $y = \pm\sqrt{r^2-x^2}$ esplicitamente.

Al differenziare implicitamente $e^{xy} = x + y$ rispetto a $x$, qual è $\frac{d}{dx}[e^y]$? Perché non è semplicemente $e^y$?

Per la curva $x^4 + y^4 = 1$, trova tutti i punti di tangente orizzontale e verticale.

Per l'ellisse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$, calcola $y''$ implicitamente e semplifica usando l'equazione dell'ellisse. (Resp: $y'' = -b^4/(a^2 y^3)$.)

Per $\sin(xy) + \cos(x+y) = 1$, calcola $dy/dx$ in $(0, 0)$. Spiega perché il punto è singolare per la formula diretta.

Dimostrazione. Prova che $(x^a)' = ax^{a-1}$ per $a \in \mathbb{R}$ arbitrario ($x > 0$), usando $x^a = e^{a\ln x}$ e la regola della catena. Spiega perché la prova copre il caso $a$ irrazionale.