Lezione 55 — Derivate di ordine superiore

Sia $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$. Calcola $f'(x)$ e $f''(x)$.

Sia $f(x) = x^5 - 3x^2 + x + 2$. Calcola $f''(x)$.

Sia $f(x) = \sin x$. Calcola $f''(x)$.

Sia $f(x) = \cos(2x)$. Calcola $f''(x)$.

Sia $f(x) = \ln x$. Calcola $f''(x)$.

Sia $f(x) = xe^x$. Calcola $f''(x)$.

Sia $f(x) = x^2 \ln x$. Calcola $f''(x)$.

Sia $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$. Calcola $f'''(x)$.

Sia $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$. Calcola $f''(0)$.

Sia $f(x) = \sqrt{x}$. Calcola $f''(x)$.

Sia $f(x) = \cos(2x)$. Calcola $f^{(4)}(x)$.

Sia $f(x) = x^4$. Calcola $f^{(5)}(x)$.

Sia $f(x) = e^{2x}$. Determina $f^{(n)}(x)$ per ogni $n \geq 1$.

Determina $(\sin x)^{(100)}$.

Sia $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Determina la formula generale $f^{(n)}(x)$.

Per $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$, determina i punti di flesso e gli intervalli di concavità.

Per $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, determina gli intervalli di concavità e il punto di flesso.

Per $f(x) = e^{-x^2}$, calcola $f''(0)$.

Per $f(x) = x^5 - 5x^4$, determina i punti di flesso.

Se $f''(c) = 0$, possiamo concludere che $c$ è punto di flesso di $f$?

Se $f'(c) = 0$ e $f''(c) > 0$, che cosa si conclude riguardo a $c$?

Determina la concavità di $f(x) = e^x$ in tutto il dominio.

Analizza la concavità di $f(x) = x^3$ e identifica il punto di flesso.

Per $f(x) = x^4 - 6x^2$, determina gli intervalli di concavità e i punti di flesso.

Spiega perché $(\sin x)^{(4)} = \sin x$ e perché $(e^x)^{(n)} = e^x$ per ogni $n \geq 0$.

Deriva la formula di $(fg)''$ dalla regola del prodotto, e identifica l'analogia con il binomio di Newton.

Sia $f(x) = (1 + x)^{10}$. Calcola $f^{(10)}(0)$.

Posizione di una particella: $s(t) = 4t^3 - t^4$ (metri, $t$ in secondi). Calcola $v(1)$, $a(1)$ e $j(1)$, e interpreta $j(1) = 0$.

Pendolo: $\theta(t) = A\cos(\omega t)$. Calcola $\ddot{\theta}$ e verifica che $\ddot{\theta} + \omega^2\theta = 0$.

Costo di produzione: $C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q$ (R$ mila). Calcola $C''(q)$ e interpreta il punto di flesso come "costo marginale minimo".

Posizione di veicolo: $s(t) = 10t^3 - 30t^2 + 5$ (metri). Calcola $v(t)$, $a(t)$, $j(t)$ e determina quando l'accelerazione è zero.

Altezza di proiettile: $h(t) = -4{,}9t^2 + v_0 t + h_0$. Calcola $h''(t)$ e identifica il suo significato fisico.

In un sistema meccanico, l'energia potenziale $U(\theta)$ ha punto critico in $\theta_0$. Che cosa $U''(\theta_0) > 0$ versus $U''(\theta_0) < 0$ implica sulla stabilità dell'equilibrio?

Usando le tre prime derivate di $f(x) = e^x$ in $a = 0$, scrivi il polinomio di Taylor $T_2(x)$ e stima l'errore per $x = 0{,}1$.

Scrivi il polinomio di Taylor di grado 2 di $f(x) = \cos x$ attorno a $a = 0$ e verificalo per $x = 0{,}1$.

Calcola $f^{(n)}(x)$ per $f(x) = \ln(1+x)$ e scrivi il polinomio di Taylor $T_n(x)$ attorno a $a = 0$.

Per $f(x) = x^x$ ($x > 0$), calcola $f''(x)$ usando derivata logaritmica.

Enuncia la formula di Leibniz $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$ e descrivi la struttura dell'argomento per induzione che la prova.

Dimostrazione. Sia $f$ due volte differenziabile in $[0, 1]$, con $f(0) = f(1) = 0$ e $f' \not\equiv 0$. Esiste $c \in (0, 1)$ con $f''(c) = 0$? Giustifica.

Dimostrazione. Prova che se $f$ è due volte differenziabile e $f''(x) \geq 0$ in $(a, b)$, allora $f$ è convessa in $(a, b)$.