v1 · padrão canônico

Lezione 56 — Derivate di funzioni inverse

Teorema della derivata della funzione inversa e derivazione di arcsin, arccos, arctan, ln, log_a, a^x e inverse iperboliche mediante differenziazione implicita.

Used in: 2.º anno SM avanzato · Equiv. Math III giapponese cap. 3 · Equiv. Analysis Grundkurs/Leistungskurs tedesco · IB Math HL argomento 6

(f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}, \quad b = f(a)

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definizione rigorosa e tabella completa

Teorema della derivata della funzione inversa

"Se $f$ è una funzione differenziabile, uno-a-uno, con $f(a) = b$ e $f'(a) \neq 0$ , allora $f^{-1}$ è differenziabile in $b$ e $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a)$ ." — Active Calculus §2.6, Theorem 2.6.2

Dimostrazione mediante regola della catena

Dall'identità $f(f^{-1}(y)) = y$ , differenziando entrambi i lati rispetto a $y$ mediante la regola della catena:

$f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1$

Poiché $f'(f^{-1}(y)) \neq 0$ per ipotesi, dividendo:

$\boxed{(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}}$

Interpretazione geometrica

Il grafico di $f^{-1}$ è il riflesso del grafico di $f$ sulla retta $y = x$ . Una tangente di pendenza $m$ nel grafico di $f$ nel punto $(a, b)$ diventa pendenza $1/m$ nel grafico di $f^{-1}$ nel punto $(b, a)$ — il riflesso scambia i ruoli di $\Delta x$ e $\Delta y$ .

Riflesso sulla diagonale $y = x$ trasforma pendenza $m$ in $1/m$ . Il punto $(a, b)$ di $f$ diventa $(b, a)$ di $f^{-1}$ .

Tabella di derivate di funzioni inverse

Funzione	Dominio	Derivata
$\arcsin x$	$(-1, 1)$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arccos x$	$(-1, 1)$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{1 + x^2}$
$\text{arccot}\, x$	$\mathbb{R}$	$-\dfrac{1}{1 + x^2}$
$\text{arcsec}\, x$	$\vert x \vert > 1$	$\dfrac{1}{\vert x \vert\sqrt{x^2 - 1}}$
$\text{arccsc}\, x$	$\vert x \vert > 1$	$-\dfrac{1}{\vert x \vert\sqrt{x^2 - 1}}$
$\ln x$	$x > 0$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x\;(a>0,\,a\neq1)$	$x > 0$	$\dfrac{1}{x \ln a}$
$\text{arcsinh}\, x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
$\text{arccosh}\, x$	$x > 1$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$
$\text{arctanh}\, x$	$	x

"In generale, esiste una formula per la derivata di $a^x$ per ogni $a > 0$ con $a \neq 1$ : $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ . Questa formula è un caso speciale della regola della catena applicata a $a^x = e^{x \ln a}$ ." — OpenStax Calculus Volume 1 §3.7

Catena con inverse trig

Per $u = g(x)$ differenziabile:

$\frac{d}{dx}\arcsin(g(x)) = \frac{g'(x)}{\sqrt{1 - g(x)^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan(g(x)) = \frac{g'(x)}{1 + g(x)^2}$

Esempi risolti

Example— 1· Derivata di arctan tramite differenziazione implicita (fondamentale)

Problema: Deriva $(\arctan x)'$ partendo dalla definizione tramite differenziazione implicita.

Strategia: Usiamo il metodo standard: scrivere la relazione inversa $\tan y = x$ , derivare implicitamente, e riscrivere il risultato in termini di $x$ .

Risoluzione:

Sia $y = \arctan x$ . Per definizione dell'inversa, $\tan y = x$ con $y \in (-\pi/2,\, \pi/2)$ .
Deriva entrambi i lati rispetto a $x$ : $\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
Isola $dy/dx$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}$
Riscrivi $\sec^2 y$ : tramite l'identità $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ e usando $\tan y = x$ : $\sec^2 y = 1 + x^2$
Quindi: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

Verifica: In $x = 0$ : $(f^{-1})'(0) = 1/(1+0) = 1$ . Poiché $f(x) = \tan x$ ha $f'(0) = \sec^2 0 = 1$ , e $1/f'(0) = 1$ . Corretto.

Fonte. Active Calculus §2.6 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Derivata di ln tramite inversa di exp (fondamentale)

Problema: Deriva $(\ln x)'$ partendo da $e^y = x$ .

Strategia: $\ln$ è l'inversa di $e^x$ . Applichiamo differenziazione implicita e usiamo che $e^y = x$ .

Risoluzione:

Sia $y = \ln x$ . Allora $e^y = x$ (definizione del logaritmo naturale).
Deriva entrambi i lati rispetto a $x$ : $e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
Isola $dy/dx$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$
Sostituisci $e^y = x$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

Risultato: $(\ln x)' = 1/x$ per $x > 0$ .

Derivata di $\log_a x$ : Poiché $\log_a x = \ln x / \ln a$ : $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

Verifica: In $x = 1$ : $(\ln x)'\big|_{x=1} = 1$ . La retta tangente a $y = \ln x$ in $(1, 0)$ ha pendenza 1. Corretto.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.7 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Regola della catena con arcsin — composizione arcsin(2x)

Problema: Calcola $\dfrac{d}{dx}\arcsin(2x)$ .

Strategia: Si applica la formula $(\arcsin u)' = u'/\sqrt{1-u^2}$ con $u = 2x$ .

Risoluzione:

Identifica $u = 2x$ , quindi $u' = 2$ .
Applica la regola della catena: $\frac{d}{dx}\arcsin(2x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$
Il risultato è valido per $|2x| < 1$ , cioè $x \in (-1/2,\, 1/2)$ .

Verifica: Per $x = 0$ : derivata $= 2/\sqrt{1} = 2$ . Per differenza finita: $\arcsin(2 \cdot 0{,}01) \approx 0{,}020$ , diviso per $0{,}01$ dà $\approx 2{,}00$ . Corretto.

Fonte. Active Calculus §2.6, Esercizio 2.6.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Teorema della inversa senza formula esplicita — calcolare (f^{-1})'(b)

Problema: Sia $f(x) = x^3 + 2x + 1$ . Calcola $(f^{-1})'(4)$ .

Strategia: Non conosciamo $f^{-1}$ esplicitamente, ma possiamo usare $(f^{-1})'(b) = 1/f'(f^{-1}(b))$ . Dobbiamo trovare $a$ tale che $f(a) = 4$ .

Risoluzione:

Trova $a$ tale che $f(a) = 4$ : $a^3 + 2a + 1 = 4 \implies a^3 + 2a - 3 = 0$

Testa $a = 1$ : $1 + 2 - 3 = 0$ . Quindi $a = 1$ , cioè $f(1) = 4$ .

Calcola $f'(x) = 3x^2 + 2$ .
Valuta in $a = 1$ : $f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5$ .
Applica il teorema: $(f^{-1})'(4) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$

Verifica: $f$ è strettamente crescente ( $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ per ogni $x$ ), quindi $f^{-1}$ esiste. In $b = 4$ , la pendenza di $f^{-1}$ è $1/5$ .

Fonte. Active Calculus §2.6, Esercizio 2.6.4 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Differenziazione logaritmica — derivata di x^x

Problema: Deriva $y = x^x$ per $x > 0$ .

Strategia: $x^x$ non è potenza fissa né esponenziale fissa — si usa differenziazione logaritmica: prendi $\ln$ dei due lati e deriva.

Risoluzione:

Prendi $\ln$ dei due lati: $\ln y = x \ln x$
Deriva implicitamente in $x$ : $\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
Isola $dy/dx$ moltiplicando per $y = x^x$ : $\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

Caso particolare: In $x = 1$ : $dy/dx = 1^1(\ln 1 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$ . La retta tangente a $y = x^x$ in $(1, 1)$ ha pendenza 1.

Generalizzazione: Per $y = f(x)^{g(x)}$ , la differenziazione logaritmica dà: $\frac{dy}{dx} = f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\ln f(x) + \frac{g(x) f'(x)}{f(x)}\right)$

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.7 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 3Modeling 8Challenge 2Proof 1

Ex. 56.1Application
Qual è la derivata di $y = \arcsin x$ ?
Solve online
Ex. 56.2Application
Qual è la derivata di $y = \arctan x$ ?
Solve online
Ex. 56.3Application
Deriva $y = \arccos x$ per differenziazione implicita. Spiega perché il risultato differisce da $(\arcsin x)'$ solo nel segno.
Solve online
Ex. 56.4ApplicationAnswer key
Deriva $y = \ln x$ per differenziazione implicita.
Solve online
Ex. 56.5Application
Deriva $y = \log_2 x$ .
Solve online
Ex. 56.6Application
Qual è la derivata di $y = a^x$ (con $a > 0$ , $a \neq 1$ )?
Solve online
Ex. 56.7Application
Deriva $y = \text{arcsinh}\, x$ per differenziazione implicita.
Solve online
Ex. 56.8Application
Deriva $y = \text{arctanh}\, x$ (per $|x| < 1$ ).
Solve online
Ex. 56.9Application
Sia $f(x) = x^3 + x$ . Dato che $f(1) = 2$ , calcola $(f^{-1})'(2)$ .
Solve online
Ex. 56.10ApplicationAnswer key
Sia $f(x) = e^x + x$ . Dato che $f(0) = 1$ , calcola $(f^{-1})'(1)$ .
Solve online
Ex. 56.11Application
Calcola $\dfrac{d}{dx} 3^x$ e valuta in $x = 1$ . Perché la regola di potenza $nx^{n-1}$ non si applica?
Solve online
Ex. 56.12Application
Calcola $\dfrac{d}{dx} 2^{x^2}$ .
Solve online
Ex. 56.13Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}\arcsin(2x)$ .
Solve online
Ex. 56.14Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}\arctan(x^2)$ .
Solve online
Ex. 56.15ApplicationAnswer key
Calcola $\dfrac{d}{dx}\arcsin(e^x)$ . Qual è il dominio di questa derivata?
Solve online
Ex. 56.16Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}\arctan(\ln x)$ .
Solve online
Ex. 56.17Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}\arcsin(x^3)$ .
Solve online
Ex. 56.18Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}(\arctan x)^2$ .
Solve online
Ex. 56.19Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}(\arcsin x + \arccos x)$ . Spiega il risultato geometricamente.
Solve online
Ex. 56.20Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}\ln(\arctan x)$ e specifica il dominio.
Solve online
Ex. 56.21Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}\!\left[x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]$ .
Solve online
Ex. 56.22Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}\ln(\sec x + \tan x)$ .
Solve online
Ex. 56.23ApplicationAnswer key
Calcola $\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{\arctan x}{x}\right)$ .
Solve online
Ex. 56.24Application
Deriva $y = \text{arcsec}\, x$ per $x > 1$ .
Solve online
Ex. 56.25Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}\text{arccosh}(\ln x)$ . Qual è il dominio?
Solve online
Ex. 56.26Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}\!\left[(\arctan x)\ln(x^2+1)\right]$ .
Solve online
Ex. 56.27ModelingAnswer key
Legge di Snell. L'angolo di rifrazione soddisfa $\theta_2 = \arcsin\!\left(\dfrac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\right)$ . Calcola $d\theta_2/d\theta_1$ in $\theta_1 = 0$ .
Solve online
Ex. 56.28Modeling
GPS. L'angolo di elevazione di un satellite è $\theta = \arctan(h/d)$ , dove $h$ è l'altitudine e $d$ la distanza orizzontale (fisso). Calcola la sensibilità $d\theta/dh$ .
Solve online
Ex. 56.29Modeling
Pendolo. L'angolo del pendolo soddisfa $\theta = \arcsin(s/L)$ , dove $s$ è l'arco e $L$ la lunghezza. Calcola $d\theta/ds$ .
Solve online
Ex. 56.30ModelingAnswer key
Usa differenziazione logaritmica per calcolare $\dfrac{d}{dx} x^{\sin x}$ (per $x > 0$ ).
Solve online
Ex. 56.31ModelingAnswer key
Usa differenziazione logaritmica per calcolare $\dfrac{d}{dx} x^x$ (per $x > 0$ ).
Solve online
Ex. 56.32Modeling
Funzione di errore. Sia $F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ . Calcola $F'(x)$ per TFC e poi determina $(F^{-1})'(0)$ .
Solve online
Ex. 56.33Modeling
Finanza. La funzione $V(\sigma) = \text{BS}(\sigma)$ dà il prezzo di un'opzione come funzione della volatilità. La sensibilità del prezzo alla volatilità è il Vega. Qual è la sensibilità della volatilità implicita al prezzo di mercato, $d\sigma_{\text{imp}}/dV$ ?
Solve online
Ex. 56.34Modeling
Calcola $\dfrac{d}{dx}\arcsin(1/x)$ per $|x| > 1$ e confronta con la derivata di $\text{arcsec}\, x$ .
Solve online
Ex. 56.35UnderstandingAnswer key
Perché una funzione deve essere strettamente monotona (e non solo continua) per avere una funzione inversa ben definita?
Solve online
Ex. 56.36UnderstandingAnswer key
Cosa accade geometricamente nella formula della derivata dell'inversa quando $f'(a) = 0$ ?
Solve online
Ex. 56.37Understanding
Identità. Prova che $\arcsin x + \arccos x = \pi/2$ per tutto $x \in [-1, 1]$ usando derivate (mostra che la differenza è costante e valuta in $x = 0$ ).
Solve online
Ex. 56.38Challenge
Funzione W di Lambert. $W(x)$ soddisfa $W(x)\,e^{W(x)} = x$ . Deriva $W'(x)$ per differenziazione implicita.
Solve online
Ex. 56.39Challenge
Usa differenziazione logaritmica per calcolare $\dfrac{d}{dx}(\ln x)^{\ln x}$ per $x > 1$ .
Solve online
Ex. 56.40ProofAnswer key
Dimostrazione. Prova che $(f^{-1})'(y) = 1/f'(f^{-1}(y))$ usando l'identità $f(f^{-1}(y)) = y$ e la regola della catena.
Solve online

Fonti

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §2.6 "Derivatives of Inverse Functions" · CC-BY-NC-SA. Fonte primaria. Sezione gratuita online con attività di scoperta.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.7 "Derivatives of Inverse Functions" · CC-BY-NC-SA. Tabella completa, esempi di differenziazione logaritmica.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.7 e §6.6 · CC-BY-NC. PDF gratuito. Inverse iperboliche e composizioni avanzate.