Lição 57 — Aproximação linear e diferencial

Aproxime $\sqrt{4{,}1}$ usando linearização em $a = 4$.

Aproxime $\sqrt{9{,}06}$ usando linearização em $a = 9$. Compare com o valor real.

Aproxime $\sin(0{,}05)$ usando linearização em $a = 0$.

Aproxime $\cos(0{,}1)$ usando linearização em $a = 0$. Explique por que o resultado é surpreendentemente impreciso.

Aproxime $e^{0{,}03}$ usando linearização em $a = 0$.

Aproxime $\ln(1{,}05)$ usando linearização em $a = 1$.

Aproxime $(1{,}02)^{10}$ usando linearização de $(1+x)^{10}$ em $x = 0$.

Aproxime $\sqrt[3]{27{,}5}$ usando linearização em $a = 27$.

Escreva a linearização de $f(x) = \tan x$ em $a = 0$. Esta linearização é idêntica à de $\sin x$ em $a = 0$ — por quê?

Escreva a linearização de $f(x) = \arctan x$ em $a = 1$.

Escreva a linearização de $f(x) = e^x \sin x$ em $a = 0$.

Aproxime $\sqrt{50}$ usando linearização em $a = 49$.

Calcule o diferencial $dy$ para $y = x^3$ em $x = 2$, $dx = 0{,}01$. Compare com a variação real $\Delta y$.

Calcule o diferencial $dy$ para $y = e^x$ em $x = 0$, $dx = 0{,}1$.

Aproxime $\sin(31°)$ usando linearização de $\sin$ em $a = 30°$. Use $\sin(30°) = 0{,}5$ e $\cos(30°) = \sqrt{3}/2$.

Aproxime $\cos(59°)$ usando linearização de $\cos$ em $a = 60°$.

Qual é a linearização de $f(x) = \sqrt{1 + x}$ em $a = 0$?

Aproxime $1/\sqrt{4{,}1}$ usando linearização em $a = 4$.

Escreva a linearização de $f(x) = \ln x$ em $a = e$.

Calcule o erro absoluto da linearização de $\sqrt{4{,}1}$ em $a = 4$ comparando com $\sqrt{4{,}1} \approx 2{,}024846$. Verifique que o erro está dentro da cota $M_2 h^2/2$.

Execute uma iteração de Newton-Raphson para encontrar $\sqrt{5}$, partindo de $x_0 = 2$.

Execute duas iterações de Newton-Raphson para resolver $x^3 - 2 = 0$ com $x_0 = 1$.

A esfera tem raio $r = 5{,}0 \pm 0{,}1$ cm. Estime o erro máximo no volume $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ usando diferencial.

O período de um pêndulo é $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. Se o comprimento $L$ tem erro relativo de $1\%$, qual o erro relativo em $T$?

Para $R = V/I$ com erros independentes $\sigma_V$ e $\sigma_I$, escreva a fórmula de propagação de erro para $\sigma_R$ usando derivadas parciais.

A área de um círculo é $A = \pi r^2$ com $r = 3{,}0 \pm 0{,}064$ cm. Estime o erro máximo em $A$ pelo diferencial.

Por que o erro da linearização $|f(x) - L(x)|$ é dito $O((x-a)^2)$? Qual teorema fundamenta isso?

Em que circunstância a linearização de $f$ em $a$ é especialmente imprecisa, mesmo para $x$ próximo de $a$? O que fazer nesses casos?

Mostre que $\sin x \approx x$ é a linearização de $\sin$ em $a = 0$. Para que valores de $x$ (em radianos) o erro é menor que 1%?

Qual a relação entre $\Delta y$ (variação real) e $dy$ (diferencial)?

Explique de onde vem a fórmula de Newton-Raphson $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ em termos de linearização.

Use linearização para aproximar $(1{,}002)^{30}$.

O lado de um cubo é medido com erro relativo de $1\%$. Qual o erro relativo no volume $V = s^3$?

Escreva a linearização de $g(x) = 1/\sqrt{1+x}$ em $a = 0$.

Calcule o erro absoluto e relativo da linearização de $e^x$ em $a = 0$ ao aproximar $e^1 = e$. O resultado é surpreendente? Explique.

Newton-Raphson falha quando $f'(x_n) = 0$. Explique geometricamente e dê um exemplo de função onde isso ocorre.

Derive a cota de erro $|f(x) - L(x)| \leq \frac{M_2}{2}(x-a)^2$ a partir do teorema de Taylor com resto de Lagrange.

Volume do cilindro: $V = \pi r^2 h$. Com $r = 5{,}0 \pm 0{,}1$ cm e $h = 10{,}0 \pm 0{,}2$ cm, estime o erro máximo em $V$ pelo diferencial total.

Demonstre que $L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$ é o polinômio de Taylor de grau 1 de $f$ em $a$, e que o erro é $O((x-a)^2)$.

Demonstre que Newton-Raphson tem convergência quadrática: se $e_n = x_n - x^*$ é o erro na $n$-ésima iteração e $f'(x^*) \neq 0$, então $|e_{n+1}| \leq C\,|e_n|^2$ para alguma constante $C > 0$.