Lição 58 — Taxas relacionadas

Un pallone sferico viene gonfiato a $50$ cm³/s. Qual è il tasso di variazione del raggio quando $r = 5$ cm?

Stesso pallone sferico, $dV/dt = 100$ cm³/s. Qual è $dr/dt$ quando $r = 10$ cm?

Il raggio di un disco circolare cresce a $0{,}1$ m/s. Qual è il tasso di variazione dell'area quando $r = 2$ m?

Lo spigolo di un cubo cresce a $1$ cm/s. Qual è il tasso di variazione del volume quando lo spigolo misura $5$ cm?

Il lato di un quadrato cresce a $2$ cm/s. Qual è il tasso di variazione dell'area quando il lato misura $10$ cm?

Una scala di $L = 5$ m si appoggia al muro. Il piede scivola via a $0{,}5$ m/s. Qual è il tasso di discesa della cima quando il piede è a $3$ m dal muro?

Scala di $L = 10$ m. Il piede scivola via a $1$ m/s. Qual è il tasso di discesa della cima quando il piede è a $6$ m?

Serbatoio conico invertito, raggio della cima $3$ m, altezza $6$ m. L'acqua entra a $4$ m³/min. Qual è $dh/dt$ quando $h = 3$ m?

Serbatoio cilindrico di raggio $r = 4$ m. L'acqua entra a $2$ m³/h. Qual è $dh/dt$?

L'auto A parte verso nord a $60$ km/h e l'auto B parte verso est a $80$ km/h dallo stesso incrocio. Qual è il tasso di allontanamento dopo $30$ min?

Un palo ha $4$ m di altezza. Una persona di $1{,}8$ m cammina a $1$ m/s allontanandosi dal palo. Qual è il tasso di crescita della lunghezza dell'ombra?

Nella stessa situazione dell'esercizio precedente: qual è la velocità della punta dell'ombra (distanza dal palo)?

Un serbatoio a forma di prisma rettangolare ha base $b = 4$ m e lunghezza $L = 10$ m. Se l'altezza $h$ cresce a $0{,}1$ m/s, qual è $dV/dt$?

Un triangolo rettangolo ha cateti $a = 3$ cm e $b = 4$ cm. Il cateto $a$ cresce a $1$ cm/s; $b$ è fisso. Qual è il tasso di crescita dell'ipotenusa?

Un aereo vola orizzontalmente a $500$ km/h, a $5$ km di altitudine su un osservatore. Qual è il tasso di variazione della distanza tra l'aereo e l'osservatore, $1$ minuto dopo che l'aereo passa per il punto più vicino?

Un'imbarcazione è tirata da un cavo fino a un dock a $6$ m sopra l'acqua. Il cavo misura $10$ m ed è riavvolto a $1$ m/s. A che velocità l'imbarcazione si avvicina al dock (orizzontalmente)?

L'auto A va verso nord a $50$ km/h; l'auto B va verso est a $60$ km/h. Qual è il tasso di allontanamento dopo $30$ min di viaggio?

Una telecamera di TV è a $30$ m dalla pista di gara. Un'auto passa a $80$ m/s. Qual è il tasso di rotazione angolare della telecamera quando l'auto è direttamente di fronte?

Una sfera di neve si scioglie con $dV/dt = -k \cdot A$ dove $A = 4\pi r^2$ è l'area della superficie. Mostra che $dr/dt = -k$ (costante).

Un triangolo equilatero ha lato $a$ che cresce a $1$ cm/s. Qual è $dA/dt$ quando $a = 10$ cm?

Perché è un errore sostituire il valore numerico di una variabile prima di derivare l'equazione rispetto a $t$? Scegli la spiegazione più precisa.

Quale regola di derivazione è il fondamento matematico dei tassi correlati?

Nel problema della scala scorrevole, il piede si allontana dal muro ($\dot x > 0$). Prova che $\dot y < 0$ ogni volta che $x, y > 0$.

Nel serbatoio conico che si riempie a tasso costante, in quale momento il livello dell'acqua sale più velocemente?

Nel serbatoio conico, $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ dipende da due variabili ($r$ e $h$). Spiega la procedura per eliminare questa variabile extra prima di derivare.

Nel derivare $\tan\theta = h/x$ rispetto a $t$, quale fattore appare moltiplicando $d\theta/dt$ nel lato sinistro?

Per un cerchio con raggio che cresce al tasso costante $dr/dt = c$, come si comporta $dA/dt$ al crescere di $r$? Giustifica.

Cosa distingue i problemi di tassi correlati gli uni dagli altri (pallone, scala, serbatoio, ombra)?

Una telecamera traccia un oggetto che passa di fronte a velocità costante. In quale istante la telecamera gira più velocemente? Giustifica algebricamente.

Deriva $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ rispetto a $t$ e spiega perché il coefficiente risultante $4\pi r^2$ ha significato geometrico.

Nel modello SIR, $\dot S = -\beta SI$ con $\beta = 0{,}001$, $S_0 = 999$, $I_0 = 1$. Qual è $\dot S$ all'istante iniziale?

Reazione chimica $A \to B$ con $\dot A = -kA$. Determina la mezza-vita di $A$ in funzione di $k$.

Nel modello logistico di Verhulst $\dot P = rP(1 - P/K)$, a quale valore di $P$ il tasso di crescita $\dot P$ è massimo?

Serbatoio cilindrico di raggio $R$ con orifizio di area $A_s$ nel fondo. Dalla legge di Torricelli, la velocità di uscita è $\sqrt{2gh}$. Deriva l'EDO per $dh/dt$.

Cilindro: il raggio cresce a $1$ cm/s, l'altezza $h = 20$ cm è costante. Qual è $dV/dt$ quando $r = 5$ cm?

Aereo a $800$ m di altitudine vola orizzontalmente a $200$ m/s verso un osservatore. Qual è il tasso di variazione dell'angolo di elevazione quando l'aereo è a $600$ m orizzontalmente?

Palo di altezza $h$, persona di altezza $p$ che cammina a velocità $v$ lontano dal palo. Deriva la formula generale per la velocità della punta dell'ombra.

Dimostrazione. Prova rigorosamente che $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ implica $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, mostrando ogni passo dell'applicazione della regola della catena. Interpreta geometricamente il fattore $4\pi r^2$.

Dimostrazione. Per la scala scorrevole con $x^2 + y^2 = L^2$, mostra rigorosamente che $\dot x$ e $\dot y$ hanno sempre segni opposti quando $x, y > 0$.

Dimostrazione. Una telecamera traccia un oggetto che si muove lungo una linea retta a distanza $d$ (perpendicolare). Deriva la formula generale per $d\theta/dt$ in funzione di $\theta$, $d$ e $dx/dt$. Identifica quando la rotazione è massima.