Lição 64 — Regra de L'Hôpital
Regra de L'Hôpital para indeterminações 0/0 e ∞/∞. Formas indeterminadas 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 e limites notáveis como sin(x)/x e e^x/x^n.
Used in: 2.º anno EM · Equiv. Math III giapponese · Equiv. Analysis Klasse 12 tedesca · Equiv. H2 Maths Singapore
Rigorous notation, full derivation, hypotheses
Enunciato, dimostrazione e estensioni
Enunciato formale
"La regola di L'Hôpital semplifica il calcolo dei limiti di quozienti quando sia il numeratore che il denominatore tendono a 0 o a ∞. La chiave è riconoscere la forma indeterminata, applicare la regola e verificare che il limite risultante effettivamente esista." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.8
Idea della dimostrazione (caso 0/0)
Per il Teorema del Valore Medio di Cauchy: se , per vicino ad esiste tra e tale che:
Quando , si ha , e il limite diviene: (quando il rapporto delle derivate converge).
Estensione ad altre forme indeterminate
"Attenzione: la regola di L'Hôpital dice che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate, purché il limite originale sia nella forma 0/0 o ∞/∞. Questo non è lo stesso della derivata di un quoziente." — Active Calculus §2.8
Esempi risolti
Exercise list
30 exercises · 7 with worked solution (25%)
- Ex. 64.1Application
Calcola .
- Ex. 64.2Application
Calcola .
- Ex. 64.3Application
Calcola .
- Ex. 64.4ApplicationAnswer key
Calcola .
- Ex. 64.5ApplicationAnswer key
Calcola .
- Ex. 64.6Application
Calcola .
- Ex. 64.7Application
Calcola .
- Ex. 64.8Application
Calcola .
- Ex. 64.9ApplicationAnswer key
Calcola .
- Ex. 64.10Application
Calcola .
- Ex. 64.11Application
Dimostra via L'Hôpital che .
- Ex. 64.12Application
Calcola .
- Ex. 64.13Understanding
Qualcuno vuole calcolare usando L'Hôpital. Cosa c'è di sbagliato?
- Ex. 64.14Understanding
Qual è la forma indeterminata di ?
- Ex. 64.15ApplicationAnswer key
Calcola .
- Ex. 64.16Application
Calcola .
- Ex. 64.17Application
Calcola .
- Ex. 64.18ApplicationAnswer key
Calcola .
- Ex. 64.19ApplicationAnswer key
Calcola per intero positivo.
- Ex. 64.20Application
Calcola .
- Ex. 64.21Application
Calcola .
- Ex. 64.22Application
Calcola .
- Ex. 64.23Application
Calcola .
- Ex. 64.24Application
Calcola .
- Ex. 64.25Application
Prova a calcolare via L'Hôpital. Cosa succede? Quale è la risposta corretta?
- Ex. 64.26Application
Calcola .
- Ex. 64.27Application
Calcola .
- Ex. 64.28Proof
Schizza la dimostrazione della regola di L'Hôpital per il caso , usando il Teorema del Valore Medio di Cauchy.
- Ex. 64.29Proof
Usa la regola di L'Hôpital per dimostrare il limite fondamentale .
- Ex. 64.30ChallengeAnswer key
Dimostra che per qualunque (l'esponenziale domina ogni potenza). Usa L'Hôpital iterato e argomenta sul numero di applicazioni necessarie.
Fonti
- Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-2-8-LHR.html
- OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-8-lhopitals-rule
- Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com