Lição 66 — Concavidade e pontos de inflexão

Determina la concavità di $f(x) = x^2$ su tutto $\mathbb{R}$. C'è un flesso?

Determina la concavità e i punti di flesso di $f(x) = x^3$.

Concavità di $f(x) = x^4$. C'è un flesso in $x = 0$? Giustifica con il segno di $f''$.

Concavità di $f(x) = e^x$ su tutto $\mathbb{R}$. C'è un flesso?

Concavità di $f(x) = \ln x$ in $(0, \infty)$.

Concavità di $f(x) = \sin x$ in $[0, 2\pi]$. Identifica i punti di flesso.

Concavità di $f(x) = \cos x$ in $[0, 2\pi]$. Punti di flesso.

Concavità di $f(x) = 1/x$ negli intervalli $(0,\infty)$ e $(-\infty,0)$.

Concavità di $f(x) = e^{-x^2/2}$ (gaussiana). Identifica i punti di flesso.

Concavità e flesso di $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

Usa il test di $f''$: classifica gli estremi di $f(x) = x^3 - 12x$.

Estremi di $f(x) = x^4 - 4x^2$ via test di $f''$.

Estremi di $f(x) = x e^{-x}$ via $f''$.

Estremi di $f(x) = x^2 \ln x$ in $(0, \infty)$ via $f''$.

Estremi di $f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin(2x)$ in $[0, 2\pi]$.

Mostra che $f(x) = x^4$ ha un minimo in $x = 0$ nonostante $f''(0) = 0$ (test inconclusivo).

Mostra che $f(x) = x^5$ non ha un extremo in $x = 0$ nonostante $f'(0) = 0$.

Per $f(x) = x^2 + 1/x$ in $x > 0$: trova il minimo e giustifica con $f''$.

Estremi di $f(x) = \ln x / x$ in $(0, \infty)$ via $f''$.

Estremi di $f(x) = x^{1/x}$ in $(0, \infty)$ (prendi $\ln f$ prima di derivare).

Costo $C(q) = q^3 - 6q^2 + 9q + 100$. Trova il flesso e interpretalo come cambio di rendimento marginale.

Profitto $\pi(q) = -q^3 + 30q^2 - 100q$. Massimizza via $\pi'$ e conferma con $\pi''$.

Curva logistica $P(t) = K/(1 + e^{-rt})$. Mostra che c'è un flesso in $P = K/2$ (metà della capacità di carico).

Energia potenziale $U(x) = -\cos x$ (pendolo). Trova gli equilibri stabili e instabili usando $U''$.

Molla armonica: $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$. Mostra che $x = 0$ è un equilibrio stabile usando $U''$.

Entropia di Bernoulli $H(p) = -p\ln p - (1-p)\ln(1-p)$. Mostra $H'' < 0$ e che il massimo è in $p = 1/2$.

Curva di apprendimento $L(t) = 1 - e^{-kt}$. Determina la concavità. Cosa dice sulla velocità di apprendimento?

In un'epidemia, il picco di nuovi casi avviene nel punto di flesso della curva di casi accumulati $f(t)$. Giustifica geometricamente e via $f''$.

Utilità $U(W) = \ln W$ è concava. Spiega come la disuguaglianza di Jensen implica l'avversione al rischio per questo investitore.

Perché la funzione di perdita della regressione lineare ha un unico minimo globale? Usa la convessità per giustificare.

Qual è la condizione corretta affinché $x_0$ sia un punto di flesso di $f$?

Dimostra che la somma di due funzioni convesse è convessa, usando la definizione via $f''$.

Mostra che $f$ convexa in $I$ implica la disuguaglianza del punto medio: $f\!\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$.

Perché $f''(x_0) = 0$ non è sufficiente per garantire un flesso? Dai un controesempio concreto.

Mostra che $\ln$ è concava in $(0,\infty)$ e usalo per provare la disuguaglianza AM-GM: $(x+y)/2 \geq \sqrt{xy}$ per $x, y > 0$.

Funzione di Huber $L(x) = x^2/2$ se $|x| \leq 1$; $|x| - 1/2$ altrimenti. È convessa? Dove $L''$ è discontinua?

Dimostra il test della seconda derivata via polinomio di Taylor di ordine 2.

Dimostra la disuguaglianza di Jensen per due punti: $f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$ — direttamente dalla definizione di convessità.

Dimostra che ogni funzione convessa in intervallo aperto è continua nell'interno.

Dimostra che $f$ è convessa se e solo se il grafico rimane sempre sopra qualsiasi tangente: $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y-x)$ per ogni $x, y$.