Lição 68 — Cinemática: posição, velocidade e aceleração

$s(t) = 2t^2 - 6t$. Calcolate $v(t)$ e $a(t)$.

$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$. Quando $v = 0$? In ogni istante, l'oggetto sta accelerando o frenando?

$s(t) = 100 - 5t^2$ (caduta libera, $g = 10$ m/s²). Quando colpisce il suolo? Velocità in quel momento.

$s(t) = 5t + \frac{3}{2}t^2 + \frac{1}{2}t^3$. Velocità e accelerazione in $t = 2$.

$s(t) = e^{-t}\sin t$. Calcolate $v(t)$ e $a(t)$. Cosa rivela l'ampiezza decrescente?

$s(t) = 10\sin(2t)$. Identificate $A$, $\omega$ e il periodo $T$. Scrivete $v(t)$.

$s(t) = t^4 - 4t^3 + 6t^2$. Velocità massima in $[0, 3]$.

$s(t) = \ln(1 + t^2)$. Calcolate $v(t)$ e valutatelo in $t = 1$.

$s(t) = t^2 - 4t$. Distanza percorsa tra $t = 0$ e $t = 4$ (attenzione: $v$ cambia segno).

$s(t) = A\cos(\omega t)$. Calcolate lo jerk $j(t) = s'''(t)$.

$s(t) = 2t^3 - 6t + 1$. Quando la velocità è zero? C'è inversione di direzione?

$s(t) = \sin(t^2)$. Calcolate $v(t)$ (regola della catena) e valutatelo in $t = \sqrt{\pi}$.

Palla lanciata verso l'alto con $v_0 = 20$ m/s dal suolo. Altezza massima ($g = 10$ m/s²).

Auto a $v_0 = 30$ m/s frena uniformemente a $a = -5$ m/s². Distanza di frenata (Torricelli).

Aereo parte da fermo e decolla a $v_f = 80$ m/s dopo una pista di $1000$ m. Accelerazione media e tempo di corsa.

Pietra cade da $h = 80$ m. Tempo di caduta e rapidità all'impatto ($g = 10$ m/s²).

Auto accelera $0 \to 100$ km/h in $10{,}5$ s. Accelerazione media e distanza percorsa in accelerazione.

Lancio obliquo: $v_0 = 50$ m/s a $30°$ dall'orizzontale. Gittata orizzontale ($g = 10$ m/s²).

Razzo: $a(t) = 30 - 0{,}5t$ m/s² fino a $t = 60$ s (motore si spegne). Velocità e posizione allo spegnimento.

Treno frena uniformemente, percorre $200$ m in $20$ s e si ferma. Qual era $v_0$?

Palla lanciata dalla cima di una torre di $50$ m con $v_0 = 20$ m/s verso l'alto. Tempo fino a colpire il suolo.

Oggetto di $m = 1$ kg cade con trascinamento $b = 0{,}2$ kg/s. Velocità terminale ($g = 10$ m/s²).

Massa-molla: $m = 1$ kg, $k = 100$ N/m. Frequenza angolare $\omega$, periodo $T$ e frequenza $f$.

$x(t) = 0{,}1\cos(2\pi t)$. Ampiezza, periodo, $v(t)$ e velocità massima.

Pendolo di lunghezza $L = 1$ m. Frequenza angolare $\omega = \sqrt{g/L}$ e periodo ($g = 10$ m/s²).

Verificate che $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ soddisfa l'ODE $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$.

MHS: $E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2$. Mostrate che $E$ è costante derivando rispetto al tempo.

$x(t) = e^{-t}\cos(5t)$ (oscillatore smorzato). Frequenza apparente e comportamento dell'ampiezza.

Sfasamento tra $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ e $v(t)$. Confermate $90°$.

Mostrate che $a(t)$ e $x(t)$ sono sfasati di $180°$ in MHS — ossia, $a = -\omega^2 x$.

Palla lanciata verso l'alto. Al punto più alto, l'accelerazione è:

Spiegate perché la velocità media ($\Delta s/\Delta t$) $\neq$ media delle velocità in generale. Date un esempio numerico.

Spiegate la differenza tra velocità (grandezza vettoriale 1D con segno) e rapidità (scalare). Perché è possibile $v < 0$?

Movimento circolare: $\vec{r} = R(\cos\omega t, \sin\omega t)$. Mostrate che $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ e $|\vec{a}| = R\omega^2$.

Proiettile lanciato con $v_0$ e angolo $\theta$. Derivate la formula della gittata $R = v_0^2\sin(2\theta)/g$ e l'angolo ottimo.

Auto: 60 km/h per 1 h, poi 120 km/h per 1 h. Velocità media per tempo? E per distanza uguale percorsa?

Caduta con resistenza quadratica: $m\dot{v} = -mg - bv^2$. Velocità terminale e soluzione analitica di $v(t)$ (via separazione di variabili).

Elica: $\vec{r}(t) = (R\cos\omega t, R\sin\omega t, vt)$. Calcolate $\vec{v}$, $|\vec{v}|$ e $\vec{a}$.

Dimostrate l'equazione di Torricelli $v_f^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s$ a partire dalle equazioni del MUV, eliminando il tempo $t$.

Mostrate che in MHS la media temporale di energia cinetica e potenziale sono uguali a $E/2$ ciascuna — usando $\langle\sin^2\rangle = \langle\cos^2\rangle = 1/2$.