Lição 69 — Método de Newton-Raphson

$f(x) = x^2 - 2$, $x_0 = 1$. Applica 3 iterazioni di Newton-Raphson. Confronta con $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$

$f(x) = x^2 - 5$, $x_0 = 2$. Applica 3 iterazioni per stimare $\sqrt{5}$.

$f(x) = x^3 - 2$, $x_0 = 1$. Applica 3 iterazioni per stimare $\sqrt[3]{2}$.

$f(x) = \cos x - x$, $x_0 = 1$. Applica 3 iterazioni per stimare il punto fisso di $\cos$.

$f(x) = e^x - 2$, $x_0 = 1$. Applica 3 iterazioni per stimare $\ln 2$.

$f(x) = x \ln x - 1$, $x_0 = 2$. Approssima la radice con 4 cifre decimali.

$f(x) = \sin x$, $x_0 = 3$. Mostra numericamente che le iterazioni convergono verso $\pi$.

$f(x) = x^3 - x - 1$, $x_0 = 1{,}5$. Approssima la radice reale (costante plastica $\approx 1{,}3247$).

$f(x) = x^2 - x - 1$, $x_0 = 1{,}5$. Approssima il rapporto aureo $\phi = (1 + \sqrt{5})/2$.

$f(x) = \tan x - x$, $x_0 = 4{,}5$. Approssima la radice positiva più piccola maggiore di $\pi$.

Mostra che la formula di Erone $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ per calcolare $\sqrt{a}$ è esattamente Newton-Raphson applicato a $f(x) = x^2 - a$.

Generalizza: qual è l'iterazione di Newton per calcolare $\sqrt[n]{a}$? Applica per $n = 3$, $a = 8$, $x_0 = 2$ (2 passi).

Mostra che $x_{n+1} = x_n(2 - ax_n)$ calcola $1/a$ via Newton senza nessuna operazione di divisione. Applica per $a = 7$, $x_0 = 0{,}1$ (3 passi).

Minimizza $g(x) = x^4 - 4x + 1$ applicando Newton-Raphson in $g'(x) = 0$, con $x_0 = 1{,}5$.

Flussi di cassa: $-1000$, $300$, $400$, $500$ (anni 0, 1, 2, 3). Il TIR $r$ è radice di $f(r) = -1000 + 300/(1+r) + 400/(1+r)^2 + 500/(1+r)^3 = 0$. Usa Newton con $r_0 = 0{,}15$.

In Black-Scholes, dato prezzo di mercato $V_{\text{mkt}}$ di un'opzione, spiega come usare Newton-Raphson per trovare la volatilità implicita $\sigma$. Qual è il ruolo del vega nell'iterazione?

Nell'equazione di van der Waals $(P + a/V^2)(V - b) = RT$, dati $P$, $T$ (e costanti del gas), usa Newton per trovare il volume molare $V$. Abbozza l'iterazione.

Equazione di Keplero: $E - e \sin E = M$. Per $e = 0{,}3$ (eccentricità) e $M = 1$ rad (anomalia media), usa Newton con $E_0 = 1$ per trovare l'anomalia eccentrica $E$ (4 iterazioni).

Quale comportamento Newton-Raphson può esibire quando la stima iniziale $x_0$ è lontana dalla radice?

Qual è il criterio di arresto più robusto per Newton-Raphson?

Mostra che Newton-Raphson con $f(x) = x^3 - 2x + 2$ e $x_0 = 0$ cicla indefinitamente tra $0$ e $1$.

$f(x) = x^2$ (radice doppia in $x = 0$), $x_0 = 1$. Mostra che Newton-Raphson converge solo linearmente, con rapporto $1/2$.

$f(x) = x^{1/3}$ ha radice in $x = 0$ ma $f'(0)$ non esiste. Cosa accade con Newton-Raphson? Calcola 4 iterazioni partendo da $x_0 = 1$.

Applica il metodo della secante ($x_0 = 1$, $x_1 = 2$) a $f(x) = x^2 - 2$ per 4 iterazioni. Confronta con Newton (esercizio 69.1).

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ ha 3 radici reali. Applica Newton con $x_0 = 2$, poi con $x_0 = -2$, poi con $x_0 = 0{,}5$. Quale radice raggiunge ogni stima?

Newton modificato per radice doppia: $x_{n+1} = x_n - 2f(x_n)/f'(x_n)$. Applica a $f(x) = (x-1)^2$, partendo da $x_0 = 3$. Confronta con l'iterazione standard.

Newton per ottimizzazione: mostra che applicare Newton a $g'(x) = 0$ per minimizzare $g$ è equivalente a Newton standard con $f = g'$. Applica per minimizzare $g(x) = e^x - 3x$ con $x_0 = 0$.

Per $f(z) = z^3 - 1$ nel piano complesso, descrivi qualitativamente i 3 bacini di Newton. Sulla retta reale, quale radice $x_0 = 2$ e $x_0 = -0{,}5$ raggiungono?

Dimostra la convergenza quadratica di Newton-Raphson via sviluppo di Taylor di ordine 2. Identifica la costante $C = |f''(r)|/(2|f'(r)|)$.

Dimostra: se $f$ è convessa crescente con radice semplice $r$ e $x_0 > r$ con $f(x_0) > 0$, Newton-Raphson converge verso $r$.

Generalizza Newton-Raphson per $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. Scrivi il sistema lineare da risolvere ad ogni passo e identifica il ruolo della Jacobiana $J$.

Mostra che l'iterazione di Erone $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ converge quadraticamente a $\sqrt{a}$ per qualsiasi $x_0 > 0$.