Lição 71 — Medidas de tendência central: média, mediana, moda

Dati: 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Calcola la media, la mediana e la moda.

Voti di 8 alunni: 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10. Calcola la media, la mediana e la moda.

Stipendi mensili (R$ mila): 2, 2, 3, 4, 5, 50. Confronta media e mediana. Quale rappresenta meglio lo stipendio tipico?

Età di 7 partecipanti: 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Calcola la media, mediana e moda.

Tempi di caricamento (s): 0,5; 0,7; 0,8; 0,9; 1,1; 1,5; 7,0. Calcola la media e la mediana. La mediana è più informativa della media in questo caso?

Colori di auto in un parcheggio: 12 bianche, 8 nere, 5 grigie, 5 rosse. Quale misura di tendenza centrale è appropriata?

Dati: 1, 1, 2, 3, 5, 5, 7. Determina la(e) moda(e). Come si classifica questa distribuzione?

Tabella di frequenze: $x$ = 4, 5, 6, 7, 8 con frequenze $f$ = 2, 3, 5, 3, 2. Calcola la media aritmetica.

Dati raggruppati: intervalli $[0,10)$, $[10,20)$, $[20,30)$ con frequenze 5, 12, 3. Calcola la media usando punti medi.

Una classe ha media di età $\bar{x} = 17{,}5$ anni. Un nuovo alunno di 20 anni entra e la nuova media passa a $17{,}75$ anni. Quanti alunni c'erano originalmente?

Calcola media, mediana e moda per: 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 9.

Calcola media, mediana e moda(e) per: 10, 10, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 19.

Perché l'IBGE preferisce usare la mediana (e non la media) per descrivere il reddito domiciliare pro capite del Brasile?

Tempo di attesa in un pronto soccorso: la maggior parte è assistita in 1 a 2 ore, ma alcuni casi gravi aspettano più di 10 ore. Quale misura usare per descrivere il tempo di attesa tipico? Giustifica.

Un produttore vuole dichiarare la vita utile tipica delle sue lampadine LED. Suggerisci quale misura di tendenza centrale usare e giustifica.

Un sondaggio elettorale chiede a 1.000 elettori quale partito intendono votare. Quale misura di tendenza centrale identificherà il partito preferito?

Per una distribuzione unimodale con asimmetria a destra (coda lunga positiva), quale è l'ordine tipico tra moda, mediana e media? Spiega intuitivamente.

Distribuzione uniforme in $[0, 10]$. Determina la media, la mediana e discuti la moda. Cosa dice questo su distribuzioni simmetriche?

I voti dell'ENEM hanno distribuzione prossima al normale. Media o mediana è più adeguata per descrivere il rendimento tipico? Giustifica.

Un investitore vuole sapere il numero di stanze più comune negli appartamenti di un quartiere. Quale misura usare?

Tempo di caricamento della pagina: 95% delle richieste rispondono in meno di 300 ms, ma 1% impiega più di 5 s. Perché gli ingegneri di affidabilità preferiscono mediana (P50) e percentili (P95, P99) invece della media?

Perché per una distribuzione continua simmetrica unimodale, le tre misure di tendenza centrale sono uguali? Spiega geometricamente.

A/B testing: tempo di checkout del sito A ha media 12 s e mediana 9 s. Sito B ha media 10 s e mediana 10 s. Quale sito ha migliore esperienza per l'utente tipico? Giustifica.

Azienda A riporta solo stipendio medio di R$ 10 mila. Azienda B riporta media di R$ 8 mila e mediana di R$ 7 mila. Cosa l'assenza della mediana in A può stare nascondendo?

In K-means, il centroide di un cluster è la media. Quale l'effetto di un outlier sul centroide? Come K-medoids (che usa il punto mediano) mitiga questo problema?

Controllo di qualità: pezzi con diametro medio $\bar{d} = 10{,}05$ mm e distribuzione approssimativamente simmetrica. A che valore ti aspetteresti che la mediana sia prossima? Perché?

Nell'apprendimento automatico, MSE come funzione di perdita implica che il modello apprenda a stimare la media condizionale. MAE implica che il modello stima la mediana condizionale. Spiega perché questo consegue dalla caratterizzazione variazionale delle misure centrali.

Una meta-analisi con 50 studi riporta la mediana del size di effetto invece della media. Perché la mediana è preferita in meta-analisi?

Perché il boxplot usa la mediana come linea centrale (e l'IQR come larghezza della scatola) invece di usare media e deviazione standard?

Nel federated learning, perché sostituire la media dei gradienti con la mediana aumenta la resistenza a client malevolenti (attacchi Byzantine)?

Per la distribuzione log-normale ($\ln X \sim N(\mu, \sigma^2)$): moda $= e^{\mu-\sigma^2}$, mediana $= e^\mu$, media $= e^{\mu+\sigma^2/2}$. Verifica l'ordinazione moda minore di mediana minore di media per $\sigma > 0$.

Stipendi (R$ mila): 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8 (8 dipendenti). Un AD con stipendio di R$ 60 mila è aggiunto (senza rimuovere nessuno). Calcola la media e mediana prima e dopo. Quale misura è cambiata più?

Voti di 30 alunni in una prova, raggruppati: $[60,70)$: 3 alunni; $[70,80)$: 8 alunni; $[80,90)$: 12 alunni; $[90,100]$: 7 alunni. Calcola la media stimata dai punti medi.

Mostra che $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0$.

Mostra che $\sum_{i=1}^{n}(x_i - c)^2$ è minimizzato in $c = \bar{x}$ per qualsiasi sequenza $x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}$.

Mostra che $\sum_{i=1}^{n}|x_i - c|$ è minimizzato in $c = \text{mediana}$. (Suggerimento: analizza cosa succede spostando $c$ da un lato o dall'altro della mediana, contando quanti $x_i$ rimangono sopra e sotto.)

Mostra che se $y_i = ax_i + b$ (trasformazione lineare), allora $\bar{y} = a\bar{x} + b$.

La media soddisfa $\overline{f(x_i)} = f(\bar{x})$ in generale? E la mediana? Investiga con $f(t) = t^2$ e i dati $x = \{1, 2, 3\}$.

Distribuzione di Cauchy: $f(x) = 1/[\pi(1+x^2)]$. Calcola la mediana. Mostra che la media non esiste (l'integrale $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx$ diverge).

Mostra che se sostituiamo il valore più grande di un insieme di dati con un valore ancora più grande, la mediana non cambia, ma la media aumenta.

Due gruppi hanno medie $\bar{x}_1$ e $\bar{x}_2$ con tagli $n_1$ e $n_2$. Deriva la formula della media combinata dei due gruppi.

La disuguaglianza di Jensen afferma che per $\varphi$ convessa, $\varphi(E[X]) \leq E[\varphi(X)]$. Applica con $\varphi(t) = t^2$ per ottenere una disuguaglianza tra $\bar{x}^2$ e $\overline{x^2}$. Cosa implica questo sulla varianza?