v1 · padrão canônico

Lição 72 — Variância e desvio padrão

Dispersão estatística: quanto os dados se afastam da média. Variância populacional e amostral, desvio padrão, fórmula computacional, propriedades de linearidade e independência.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Equiv. Stochastik LK alemão · Equiv. Math B japonês · Equiv. H2 Statistics singapurense

\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definizione rigorosa

Varianza e scarto quadratico medio — popolazione e campione

"La varianza è approssimativamente la distanza quadratica media di ogni punto dal dato alla media. L'unità associata alla varianza è espressa in unità quadratiche. Affinché la misura di dispersione abbia le stesse unità dei dati, calcoliamo la radice quadrata della varianza, denominata scarto quadratico medio." — OpenIntro Statistics §2.1, Diez et al., CC-BY-SA.

"Nei problemi di statistica, generalmente non abbiamo accesso all'intera popolazione, quindi usiamo i dati campionari per stimare i parametri della popolazione. Per questo, dividiamo per il grado di libertà del campione, $n-1$ , anziché per $n$ ." — OpenStax Statistics §2.7, Illowsky & Dean, CC-BY.

Proprietà algebriche

Theorem· Proprietà della varianza

Per variabili aleatorie $X, Y$ e costanti $a, b \in \mathbb{R}$ :

\text{Var}(b) = 0

what this means · Una costante ha varianza zero: non c'è dispersione.

\text{Var}(aX + b) = a^2 \, \text{Var}(X)

what this means · La traslazione non influisce sulla dispersione; la scala al quadrato.

\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) \quad (X, Y \text{ indipendenti})

what this means · Per X e Y indipendenti, le varianze si sommano — analogia con Pitagora in L².

\text{Var}(X) \geq 0

what this means · La varianza è sempre non negativa.

Dimostrazione di $\text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X)$ : poiché $E[aX+b] = a\mu + b$ , abbiamo $\text{Var}(aX+b) = E[(aX+b - a\mu - b)^2] = E[(a(X-\mu))^2] = a^2 E[(X-\mu)^2] = a^2 \text{Var}(X)$ . $\square$

Rappresentazione geometrica — diagramma di dispersione

Due insiemi con la stessa media ma dispersioni diverse. I punti lontani dalla linea tratteggiata (media) generano una varianza alta; i punti raggruppati generano una varianza bassa.

Esempi risolti

Example— 1· Calcolo diretto di varianza e scarto quadratico medio (applicazione)

Problema: Calcola la varianza della popolazione $\sigma^2$ e lo scarto quadratico medio $\sigma$ per i dati $\{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\}$ .

Strategia: Applicare la definizione in quattro passi: media, deviamenti, quadrati dei deviamenti, media dei quadrati.

Risoluzione:

Media: $\mu = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5$ .
Deviamenti $x_i - \mu$ : $-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4$ .
Deviamenti al quadrato: $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ . Somma $= 32$ .
Varianza della popolazione: $\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4$ .
Scarto quadratico medio: $\sigma = \sqrt{4} = 2$ .

Verifica: $\sigma = 2$ ha la stessa unità dei dati. Controlliamo: l'intervallo $[\mu - \sigma, \mu + \sigma] = [3, 7]$ contiene i valori 4, 4, 4, 5, 5, 7 — sei degli otto dati (75%), compatibile con la regola empirica (almeno 68% per qualsiasi distribuzione a campana; Chebyshev garantisce almeno 75% per qualsiasi distribuzione).

Fonte. OpenIntro Statistics §2.1, esempio "Toy data for variance" — licenza CC-BY-SA.

Example— 2· Varianza campionaria con correzione di Bessel (applicazione)

Problema: Otto studenti hanno sostenuto un compito di statistica. I voti erano: 72, 85, 90, 68, 78, 92, 81, 74. Calcola la varianza campionaria $s^2$ e lo scarto quadratico medio campionario $s$ .

Strategia: Uso del divisore $n-1$ perché i dati sono un campione di una classe più grande. Utilizzerò la formula computazionale $s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}$ per efficienza.

Risoluzione:

$n = 8$ . Somma: $72+85+90+68+78+92+81+74 = 640$ . Media: $\bar{x} = 640/8 = 80$ .
$\sum x_i^2 = 5184 + 7225 + 8100 + 4624 + 6084 + 8464 + 6561 + 5476 = 51718$ .
$\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 51718 - 8 \times 6400 = 51718 - 51200 = 518$ .
$s^2 = \frac{518}{7} \approx 74{,}0$ .
$s = \sqrt{74{,}0} \approx 8{,}6$ punti.

Verifica: Ispezionando i dati, tutti i valori sono compresi tra 68 e 92, ampiezza 24. Uno scarto quadratico medio di 8,6 è ragionevole — corrisponde a circa $1/3$ dell'ampiezza, un valore tipico.

Fonte. OpenStax Statistics §2.7, esempio "Find the Standard Deviation" — licenza CC-BY.

Example— 3· Varianza di una variabile aleatoria discreta (intermedio)

Problema: Un dado onesto a 6 facce. Sia $X$ il risultato. Calcola $\text{Var}(X)$ .

Strategia: Usare la formula $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ con la distribuzione uniforme discreta.

Risoluzione:

$P(X = k) = 1/6$ per $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .
$E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ .
$E[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$ .
$\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12}$ .
Scarto quadratico medio: $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1{,}71$ .

Verifica: La formula generale per $X$ uniforme in $\{1, \ldots, n\}$ è $\text{Var}(X) = (n^2-1)/12$ . Per $n=6$ : $(36-1)/12 = 35/12$ . Conferma.

Fonte. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, Ch. 6, Example 6.1 — licenza GNU FDL.

Example— 4· Proprietà di linearità e coefficiente di variazione (intermedio)

Problema: Una macchina riempie bottiglie con volume medio $\mu = 500$ mL e $\sigma = 4$ mL. L'azienda vende in scatole di 12 bottiglie. (a) Quale lo scarto quadratico medio del volume totale di una scatola, assumendo bottiglie indipendenti? (b) Quale il coefficiente di variazione ( $CV$ ) di una singola bottiglia?

Strategia: Per (a), usare la proprietà di indipendenza: $\text{Var}(X_1 + \cdots + X_{12}) = 12\sigma^2$ . Per (b), applicare $CV = \sigma/\mu$ .

Risoluzione:

(a) Sia $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}$ con $X_i$ indipendenti e identicamente distribuite.

$\text{Var}(S) = 12 \cdot \sigma^2 = 12 \cdot 16 = 192 \text{ mL}^2$ .

$\sigma_S = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \approx 13{,}9$ mL.

(b) $CV = \frac{\sigma}{\mu} = \frac{4}{500} = 0{,}008 = 0{,}8\%$ .

Un $CV$ dello 0,8% è molto basso — la macchina è coerente.

Verifica: Per 12 bottiglie indipendenti, lo scarto quadratico medio cresce con $\sqrt{12}$ , non con 12. $4\sqrt{12} \approx 13{,}9$ . Coerente con il calcolo.

Fonte. OpenStax Statistics §2.7, esercizio di proprietà — licenza CC-BY.

Example— 5· Disuguaglianza di Chebyshev — limitazioni di probabilità (modellazione)

Problema: Una linea di produzione fabbrica pezzi con massa media $\mu = 200$ g e scarto quadratico medio $\sigma = 5$ g. Senza conoscere la distribuzione esatta, determina un limite inferiore per la proporzione di pezzi con massa tra 185 g e 215 g.

Strategia: Chebyshev fornisce un limite universale: $P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - 1/k^2$ . Identificare $k$ dall'intervallo richiesto.

Risoluzione:

Intervallo richiesto: $[185, 215] = [\mu - 15, \mu + 15]$ .
$15 = 3\sigma$ (poiché $\sigma = 5$ ). Quindi $k = 3$ .
Chebyshev: $P(|X - 200| < 15) \geq 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 88{,}9\%$ .

Almeno l'88,9% dei pezzi è entro la tolleranza, indipendentemente dalla distribuzione.

Verifica: Se la produzione fosse normale, con $k=3$ avremmo il 99,7% — molto di più. Chebyshev è conservatore. Il valore 88,9% è il peggior limite possibile per qualsiasi distribuzione con $\mu = 200, \sigma = 5$ .

Fonte. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, §8.1, Chebyshev Inequality — licenza GNU FDL.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 3Modeling 9Proof 4

Ex. 72.1Application
Calcola la varianza della popolazione e lo scarto quadratico medio di $\{4, 6, 8\}$ .
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Ex. 72.2Application
Calcola la varianza campionaria $s^2$ e lo scarto quadratico medio campionario $s$ per $\{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\}$ .
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Ex. 72.3Application
Calcola lo scarto quadratico medio della popolazione di $\{5, 6, 7, 8, 9\}$ .
Solve online
Ex. 72.4ApplicationAnswer key
Quale la varianza di $\{10, 10, 10, 10\}$ ? Spiega geometricamente.
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Ex. 72.5ApplicationAnswer key
Calcola la varianza della popolazione di $\{0, 100\}$ .
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Ex. 72.6Application
Stipendi (mila R$): $3, 3, 4, 4, 5, 20$ . Calcola media e scarto quadratico medio campionario. Commenta l'effetto del valore anomalo.
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Ex. 72.7Application
Usa la formula computazionale $\overline{x^2} - \bar{x}^2$ per calcolare la varianza di $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ .
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Ex. 72.8Application
Tempo di attesa (min) in 8 servizi: $5, 7, 6, 8, 4, 5, 6, 7$ . Calcola lo scarto quadratico medio campionario.
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Ex. 72.9ApplicationAnswer key
Pesi (kg) di 6 meloni: $8, 9, 9, 10, 11, 13$ . Calcola $s^2$ e $s$ .
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Ex. 72.10Application
$X$ assume valori $1, 2, 3$ con probabilità $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ . Calcola $\text{Var}(X)$ .
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Ex. 72.11Application
Dado onesto a 6 facce. Calcola $\text{Var}(X)$ .
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Ex. 72.12ApplicationAnswer key
Somma di due dadi onesti indipendenti. Calcola $\text{Var}(S)$ usando la proprietà di indipendenza.
Solve online
Ex. 72.13Application
Temperatura massima (°C) in 7 giorni: $10, 7, 4, 9, 8, 11, 5$ . Calcola la varianza campionaria.
Solve online
Ex. 72.14Application
Usa la formula computazionale $E[X^2] - (E[X])^2$ per calcolare la varianza di $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ .
Solve online
Ex. 72.15ApplicationAnswer key
Se $\text{Var}(X) = 9$ , calcola $\text{Var}(2X + 5)$ .
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Ex. 72.16Application
Se $\sigma_X = 4$ , quale lo scarto quadratico medio di $3X$ ?
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Ex. 72.17ApplicationAnswer key
$\text{Var}(X) = 4$ , $\text{Var}(Y) = 9$ , $X$ e $Y$ indipendenti. Calcola $\text{Var}(X+Y)$ e $\text{Var}(X-Y)$ .
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Ex. 72.18Application
Standardizza $X = 80$ se $\mu = 70$ , $\sigma = 5$ . Calcola il punteggio $z$ .
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Ex. 72.19Application
$F = 1{,}8C + 32$ (conversione Celsius in Fahrenheit). Se $\sigma_C = 5$ °C, quale $\sigma_F$ ?
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Ex. 72.20Application
Calcola il coefficiente di variazione $CV = \sigma/\mu$ per altezze ( $\mu = 170$ cm, $\sigma = 8$ cm) e pesi ( $\mu = 70$ kg, $\sigma = 12$ kg). Quale insieme è relativamente più variabile?
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Ex. 72.21Application
Standardizza $\{60, 70, 80\}$ usando $\mu = 70, \sigma = 10$ . Quale la media e lo scarto quadratico medio dei punteggi $z$ ?
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Ex. 72.22Application
$\text{Var}(X) = 16$ . Quale $\text{Var}(-X)$ ?
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Ex. 72.23ApplicationAnswer key
Media campionaria di $n = 25$ osservazioni indipendenti con $\sigma = 10$ . Quale lo scarto quadratico medio della media?
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Ex. 72.24Application
Somma di 100 variabili aleatorie iid con $\sigma = 1$ . Quale lo scarto quadratico medio della somma?
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Ex. 72.25Understanding
Perché la varianza campionaria usa il divisore $n-1$ invece di $n$ ?
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Ex. 72.26Understanding
Per confrontare la dispersione tra stipendi (R$) e altezze (cm), preferisci $\sigma$ o $CV$ ? Perché?
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Ex. 72.27Understanding
La varianza può essere negativa?
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Ex. 72.28Modeling
Linea di produzione: massa media 500 g, $\sigma = 5$ g. Tolleranza $\pm 15$ g. Quanti $\sigma$ la tolleranza rappresenta?
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Ex. 72.29ModelingAnswer key
Due fondi con rendimento atteso 8%, ma $\sigma_A = 5\%$ e $\sigma_B = 15\%$ . Quale scegliere come avverso al rischio? Perché?
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Ex. 72.30Modeling
Misuri una resistenza 10 volte: $\bar{R} = 100\,\Omega$ , $s = 0{,}5\,\Omega$ . Stima lo scarto quadratico medio della media.
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Ex. 72.31Modeling
Tempo di viaggio casa-lavoro: $\mu = 30$ min, $\sigma = 5$ min. Usando la disuguaglianza di Chebyshev come limite conservatore, quanti minuti prima devi partire per avere almeno il 95% di probabilità di arrivare in tempo?
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Ex. 72.32Modeling
Processo Six Sigma: $\mu = 10{,}00$ mm, tolleranza $9{,}94$ a $10{,}06$ mm. Quale il massimo $\sigma$ che ancora soddisfa il requisito Six Sigma?
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Ex. 72.33ModelingAnswer key
Azioni A: $\sigma_A = 1\%$ ; Azioni B: $\sigma_B = 2\%$ . Portafoglio 50-50, correlazione zero. Varianza del portafoglio.
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Ex. 72.34Modeling
Stesso portafoglio dell'esercizio precedente, ma con correlazione $-0{,}5$ tra le azioni. Varianza. Confronta con il caso di correlazione zero.
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Ex. 72.35Modeling
Nel apprendimento automatico, perché le feature con scale diverse devono essere standardizzate prima di addestrare modelli basati su gradiente?
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Ex. 72.36Modeling
Voti dell'ENEM in Matematica: $\mu \approx 520$ , $\sigma \approx 110$ punti. Uno studente ha preso 740. Calcola il punteggio $z$ e interpretalo (in quanti scarti quadratici medi al di sopra della media è?).
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Ex. 72.37Proof
Dimostra che $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ a partire dalla definizione $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$ .
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Ex. 72.38Proof
Dimostra che $\text{Var}(aX + b) = a^2\,\text{Var}(X)$ per qualsiasi costanti $a, b$ .
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Ex. 72.39ProofAnswer key
Dimostra che $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ quando $X$ e $Y$ sono indipendenti.
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Ex. 72.40Proof
Dimostra la disuguaglianza di Chebyshev: $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \dfrac{1}{k^2}$ per $k > 0$ .
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Fonti

OpenIntro Statistics (4ª ed.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA. Fonte primaria di questa lezione. §2.1–§2.2 trattano la varianza campionaria, lo scarto quadratico medio, il boxplot e gli esempi applicati.
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · CC-BY. §2.7 tratta le misure di dispersione, la formula computazionale, gli esercizi con calcolatrice e i dati educativi/sanitari.
Introduction to Probability — Grinstead & Snell (Dartmouth) — GNU FDL. Ch. 6 tratta la varianza di variabili aleatorie discrete, le proprietà algebriche, Chebyshev e la connessione con la legge dei grandi numeri.