Lição 73 — Quartili, percentili e boxplot

Dati: 1, 3, 5, 7, 9. Calcola mediana, $Q_1$ e $Q_3$.

Dati: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Calcola il riepilogo di 5 numeri.

Voti: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10. Calcola $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$.

Calcola l'$IQR$ dei dati: 12, 14, 18, 22, 25, 28, 32.

Età: 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 30, 35, 60. Applica la regola 1,5 IQR. C'è un outlier?

Stipendi (R$migliaia): 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 50. Calcola mediana e$IQR$.

Per $n = 100$ dati ordinati, qual è la posizione di $Q_3$ secondo il metodo di interpolazione lineare?

Tempi (s): 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 100. Calcola i limiti di Tukey e identifica l'outlier/gli outlier.

Pesi (kg): 60, 62, 64, 65, 65, 67, 70, 72, 75, 80. Descrivi tutti gli elementi del boxplot.

Per $Z \sim \mathcal N(0,1)$, $Q_3 - Q_1 = ?$

Dati con $IQR = 6{,}7$. Usando lo stimatore robusto $\hat\sigma = IQR/1{,}349$, calcola $\hat\sigma$.

Quanti punti al di sopra di $Q_3 + 3 \cdot IQR$ ci aspettiamo in un campione di 1000 osservazioni normali?

Boxplot A: scatola stretta, mediana centrata. Boxplot B: scatola larga, mediana vicina a $Q_1$. Confronta dispersione e asimmetria dei due insiemi.

Distribuzione con coda lunga a destra. La media è in quale posizione in relazione alla mediana?

L'insieme A ha $IQR = 5$, l'insieme B ha $IQR = 20$. In quale c'è più dispersione nei dati centrali?

Mediana di $A = B = 50$. $Q_3$ di $A = 55$, di $B = 80$. Quale dei due ha distribuzione più asimmetrica a destra?

$P_{90}$ dei stipendi dell'azienda = R$ 30 migliaia. Interpreta questa informazione.

Uno studente è nel $P_{85}$ dell'ENEM. Cosa significa?

Se $Q_1 = Q_2 = Q_3$, cosa si può concludere sui dati?

L'affermazione "la regola 1,5 IQR segnala il 5% dei dati come outlier" è corretta per dati normali?

Età (anni): 40, 52, 55, 58, 62, 66, 72. Calcola il riepilogo di 5 numeri e verifica se ci sono outlier.

Voti di 10 studenti: 3, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10. Boxplot completo (con verifica degli outlier).

Classe di 100 studenti: $Q_1 = 5$, $Q_3 = 8$. Uno studente ha preso 9,5 — è nel top 25%?

Perché l'IBGE divulga la mediana del reddito, e non solo la media, nei rapporti sulla disuguaglianza in Brasile?

Pezzi prodotti con diametro: $Q_1 = 9{,}98$ mm, $Q_3 = 10{,}02$ mm. Specifica: $10{,}00 \pm 0{,}05$ mm. Il processo è centrato? C'è rischio di rifiuto significativo?

Test A/B di sito: variante A ha mediana 1,2 s e $IQR = 0{,}3$; variante B ha mediana 1,1 s e $IQR = 1{,}5$. Quale preferisci lanciare in produzione? Giustifica usando le statistiche di dispersione.

Rilevi un outlier nelle transazioni finanziarie che sembra essere una frode. Devi rimuoverlo prima di analizzare i dati? Giustifica con argomenti statistici.

Tempi di risposta (ms): 120, 130, 135, 140, 142, 145, 148, 150, 155, 380. Calcola il riepilogo di 5 numeri e valuta se il sistema rispetta l'SLA di 200 ms basandoti sui quartili.

Ospedale con 4 reparti. Tempi di degenza (giorni): Reparto A: 5, 8, 9, 10, 12; Reparto B: 3, 4, 4, 5, 20; Reparto C: 7, 8, 8, 9, 10; Reparto D: 2, 3, 15, 18, 25. Costruisci i riepiloghi di 5 numeri e identifica quale reparto è più prevedibile nella gestione dei posti letto.

Voti dell'ENEM per scuola. Scuola A: mediana 650, $IQR = 80$. Scuola B: mediana 620, $IQR = 200$. Quale scuola ha prestazioni più uniformi? Cosa ogni modello suggerisce per la politica pedagogica?

Precipitazione mensile media a San Paolo (mm): 234, 181, 130, 83, 68, 52, 44, 47, 82, 122, 145, 201. Calcola il riepilogo di 5 numeri e interpreta la stagionalità.

Prezzi immobiliari in un quartiere (R$ migliaia): 250, 280, 310, 320, 340, 350, 380, 390, 420, 1800. Calcola mediana e media. Perché un acquirente dovrebbe usare la mediana come riferimento del prezzo tipico?

Spiega, con parole tue, perché la mediana e l'IQR sono "robusti" mentre la media e la deviazione standard non lo sono. Usa un esempio concreto.

Un boxplot può nascondere una distribuzione bimodale? Costruisci un esempio concreto di distribuzione bimodale che ha lo stesso boxplot di una distribuzione unimodale.

Per $X \sim \text{Uniforme}(0, 1)$, l'$IQR$ è:

Calcola analiticamente l'$IQR$ di $X \sim \text{Esponenziale}(\lambda)$. Esprimi in funzione di $\lambda$.

Argomenta perché il punto di rottura dell'$IQR$ è 25%, quello della mediana è 50% e quello della media è 0%.

Dimostra: se $X$ è v.a. continua con densità simmetrica attorno a $\mu$, allora $\mu$ è la mediana di $X$.

Mostra che per $n \to \infty$ e campioni iid da Uniforme(0,1), lo stimatore campionario di $Q_1$ converge a 0,25. Usa proprietà delle statistiche di ordine.

Dimostra che la mediana minimizza $E[|X - c|]$ su tutti i valori $c \in \mathbb{R}$.