Lição 74 — Variável aleatória discreta

$X$ assume valori 1, 2, 3 con probabilità 0,2; 0,5; 0,3. Calcola $E[X]$.

Stessa $X$ dell'esercizio precedente. Calcola $E[X^2]$.

Stessa $X$. Calcola $\text{Var}(X)$.

Dado onesto ($X \in \{1,2,3,4,5,6\}$, $p = 1/6$). Calcola $E[X]$ e $\text{Var}(X)$.

Moneta onesta: $X = 1$ se testa, $X = 0$ se croce. Calcola $E[X]$ e $\text{Var}(X)$.

Somma $S = X_1 + X_2$ di due dadi onesti. Calcola $E[S]$.

Somma $S = X_1 + X_2$ di due dadi indipendenti. Calcola $\text{Var}(S)$.

$X$ uniforme su $\{1, 2, \ldots, n\}$. Calcola $E[X]$ in funzione di $n$.

$P(X = k) = c \cdot k$ per $k \in \{1, 2, 3, 4\}$. Trova $c$ e calcola $E[X]$.

$P(X = k) = (1/2)^k$ per $k = 1, 2, \ldots$ Verifica che è PMF valida e calcola $E[X]$.

Lotteria: vinci 1 milione di real con prob. $10^{-7}$, ogni biglietto costa 5 real. Calcola $E[\text{profitto}]$ per biglietto. Conviene comprare?

Scommessa: vinci 100 real con prob. 0,4 e perdi 60 real con prob. 0,6. Calcola $E[X]$.

$E[X] = 5$, $E[Y] = 3$. Calcola $E[2X + 3Y - 1]$.

$X$ ha $E[X] = 4$ e $\text{Var}(X) = 9$. Calcola $E[X^2 + 1]$.

100 dadi indipendenti. Aspettativa della somma totale.

100 dadi indipendenti. Varianza della somma totale.

$X \in \{0, 1, 2\}$ con probabilità 0,3; 0,5; 0,2. Calcola $E[X^2]$.

Stessa $X$. Calcola $E[3X + 2]$ via linearità.

Stessa $X$. Calcola $E[(X-1)^2]$ via LOTUS.

Estrai 5 carte da un mazzo senza reinserimento. Usa indicatori e linearità per calcolare l'aspettativa del numero di assi.

Tra $n$ persone, aspettativa del numero di coppie che condividono lo stesso compleanno. Usa indicatori.

Urna con 5 palline rosse e 15 blu. Estrai 10 senza reinserimento. Aspettativa del numero di rosse.

Assicurazione: 1% di possibilità di pagare 100 mila real. Qual è il premio attuarialmente equo?

Roulette europea (37 caselle): scommetti 1 real su un numero, paga 35:1. Calcola $E[X]$ per giro.

E-commerce: 10% dei visitanti compra; ticket medio 200 real. Calcola il ricavo atteso per 1.000 visitanti.

Modello ML con accuratezza 95%. Ogni errore costa 50 real. Aspettativa del costo totale in 1.000 classificazioni.

Linea di produzione: 2% dei pezzi sono difettosi. Lotto di 50 pezzi. Aspettativa e varianza del numero di difettosi.

Call center: operatore serve 1, 2 o 3 clienti/min con probabilità 0,2; 0,5; 0,3. Aspettativa di servizi per ora.

Lancia una moneta onesta fino a quando esce testa. Aspettativa del numero di lanci.

Server riceve 5 richieste/s in media (Poisson). Aspettativa di richieste in 1 minuto.

Lavoratore autonomo: riceve 1.500 real (30% del tempo) o 1.000 real (70% del tempo). Aliquota INSS semplificata: 7,5% sullo stipendio mensile. Calcola il contributo atteso mensile.

Fondo di investimento: rendimento mensile di +2% con prob. 0,6 o -1% con prob. 0,4. Calcola rendimento atteso e varianza mensile.

Negozio con 3 fornitori: A (40% degli ordini, 3 giorni), B (35%, 5 giorni), C (25%, 7 giorni). Calcola tempo medio di consegna e varianza.

Carta con cashback casuale: 5 real in 20% degli acquisti, 0 real altrimenti. Con 50 acquisti/mese, calcola cashback atteso mensile e deviazione standard.

Perché LOTUS funziona? Spiega in 2–3 righe senza usare formule.

Perché la linearità dell'aspettativa $E[X+Y] = E[X] + E[Y]$ vale anche quando $X$ e $Y$ sono dipendenti?

Costruisci una v.a. discreta con solo 2 valori che soddisfi $E[X] = 0$ e $\text{Var}(X) = 1$.

Dimostra l'identità $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ a partire dalla definizione $\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2]$.

Dimostra che se $X, Y$ sono discrete e indipendenti, allora $E[XY] = E[X]\,E[Y]$.

Dimostra le disuguaglianze di Markov ($P(X \geq a) \leq E[X]/a$ per $X \geq 0$) e Chebyshev ($P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq 1/k^2$).