Lição 75 — Distribuição binomial

$X \sim \text{Bin}(5, 0{,}5)$. Calcola $P(X = 3)$.

$X \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$. Calcola $P(X = 0)$.

$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}25)$. Calcola $P(X = 2)$.

$X \sim \text{Bin}(6, 1/6)$. Calcola $P(X \geq 1)$ per complemento.

$X \sim \text{Bin}(4, 0{,}5)$. Costruisci la tavola completa della PMF per $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

$X \sim \text{Bin}(20, 0{,}1)$. Calcola $E[X]$ e $\text{Var}(X)$.

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}5)$. Calcola $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$.

Lancia 10 monete. Calcola $P(\text{esattamente 5 teste})$.

Lancia 10 monete. Calcola $P(\text{almeno 8 teste})$.

Lancia un dado 6 volte. Calcola $P(\text{esattamente 2 sei})$.

Lancia un dado 6 volte. Calcola $P(\text{nessun sei})$.

Per $X \sim \text{Bin}(n, p)$, calcola $P(X = 0) + P(X = n)$ in funzione di $n$ e $p$.

Per $X \sim \text{Bin}(n, p)$, deriva il rapporto $P(X = k)/P(X = k-1)$ in funzione di $n$, $p$ e $k$.

Mostra che la moda di $\text{Bin}(n, p)$ è $\lfloor (n+1)p \rfloor$. Calcola la moda di $\text{Bin}(10, 0{,}3)$.

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}3)$. Approssima $P(X \leq 25)$ con la normale (usa correzione di continuità).

$X \sim \text{Bin}(1000, 0{,}001)$. Usa l'approssimazione Poisson per $P(X = 0)$.

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}5)$. Approssima $P(X \geq 30)$ con la normale con correzione di continuità.

$X_1 \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$ e $X_2 \sim \text{Bin}(20, 0{,}3)$ indipendenti. Qual è la distribuzione di $X_1 + X_2$?

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}02)$. Usa approssimazione Poisson per $P(X = 0)$, $P(X = 1)$ e $P(X = 2)$.

Elezione: $p = 0{,}52$, $n = 1000$. Approssima $P(\hat p < 0{,}50)$, la probabilità che il sondaggio sbagli il leader.

Per $X \sim \text{Bin}(n, 0{,}5)$, da quale $n$ l'approssimazione normale è considerata buona? Giustifica.

Mostra che la varianza di $\text{Bin}(n, p)$ è massimizzata a $p = 0{,}5$ per $n$ fisso.

Spam filter con 90% di recall. Su 500 email reali di spam, $P(\text{marcare} \geq 470)$.

Perché la formula $\text{Var}(X) = np(1-p)$ può essere dedotta dalla decomposizione in variabili di Bernoulli?

Linea di produzione: 3% di difettose. Lotto di 50 pezzi. Calcola $P(\text{almeno 3 difettose})$.

Vaccino: efficacia 85%. Su 100 vaccinati, $P(\geq 90 \text{ protetti})$. Usa approssimazione normale.

A/B test: variante A, 100 visitatori, 14 hanno acquistato. Variante B, 100 visitatori, 22 hanno acquistato. Calcola il p-valore dello z-test per differenza di proporzioni.

Sondaggio elettorale: $n = 1500$, margine di errore desiderato $\pm 2{,}5\%$ al 95%. La dimensione è sufficiente?

Genetica: incrocio $Aa \times Aa$, ogni discendente ha prob. $1/4$ di essere $AA$. In 8 figli, $P(\text{esattamente 2 sono } AA)$.

Call center: il 5% delle chiamate fallisce. Su 200 chiamate, calcola speranza e $\sigma$ dei fallimenti.

Six Sigma (con aggiustamento 1,5σ): tasso di 3,4 ppm. Su 1 milione di pezzi, usa approssimazione Poisson per $P(0 \text{ difetti})$ e $E[\text{difetti}]$.

Scommessa: 30% di probabilità di vincere R$100. Ogni giocata costa R$ 25. Su 20 giocate, qual è il profitto atteso totale?

Tasso di conversione di lead: 1%. Per chiudere in media 5 affari al mese, quanti lead devi generare?

ENEM: il 60% dei candidati raggiunge il punteggio minimo nel saggio. In classe di 20 alunni, calcola $E[X]$, $\sigma$ e $P(X \geq 15)$.

Urna con 30% di palline rosse. 50 estrazioni con restituzione. Perché la binomiale si applica? Calcola $E[X]$ e $P(X = 15)$.

Concorso pubblico: 8% di tasso di approvazione. Classe di 30 alunni. $E[\text{approvati}]$ e $P(\text{almeno 1 approvato})$.

Perché la binomiale non si applica all'estrazione senza restituzione? Fornisci un controesenpio numerico dove usare la binomiale darebbe una risposta sbagliata.

Qual è la differenza fondamentale tra distribuzione binomiale e ipergeometrica?

Dimostra $E[X] = np$ e $\text{Var}(X) = np(1-p)$ via decomposizione $X = Y_1 + \cdots + Y_n$ in variabili di Bernoulli.

Dimostra il limite Poisson: $\text{Bin}(n, \lambda/n) \to \text{Poisson}(\lambda)$ quando $n \to \infty$ con $\lambda$ fisso.

Dimostra che $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = 1$ usando il Teorema Binomiale.

Dimostra l'additività: se $X \sim \text{Bin}(n_1, p)$ e $Y \sim \text{Bin}(n_2, p)$ indipendenti (stesso $p$), allora $X + Y \sim \text{Bin}(n_1 + n_2, p)$.