Lição 76 — Distribuição normal

$X \sim \mathcal N(70, 10^2)$. Calcule o z-score para $X = 85$.

$X \sim \mathcal N(100, 15^2)$. Calcule o z-score para $X = 80$.

Calcule $P(Z \leq 1{,}96)$.

Calcule $P(Z \geq 1{,}96)$.

Calcule $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96)$.

Calcule $P(Z \leq -1{,}5)$.

Calcule $P(0 \leq Z \leq 2)$.

$X \sim \mathcal N(50, 10^2)$. Calcule $P(X > 65)$.

$X \sim \mathcal N(50, 10^2)$. Calcule $P(40 < X < 60)$.

$X \sim \mathcal N(0, 4)$ (variância = 4). Calcule $P(X > 3)$.

Calcule o quantil 90% de $\mathcal N(100, 15^2)$.

Calcule $Q_1$ (quantil 25%) de $\mathcal N(100, 15^2)$.

QI $\sim \mathcal N(100, 15^2)$. Qual % da população tem QI entre 85 e 115?

QI $\sim \mathcal N(100, 15^2)$. Qual % tem QI acima de 130?

QI $\sim \mathcal N(100, 15^2)$. Qual % tem QI acima de 145?

Alturas $\sim \mathcal N(170, 8^2)$ cm. Qual % tem altura acima de 186 cm?

Notas $\sim \mathcal N(70, 10^2)$. A partir de qual nota começa o top 5%?

$X \sim \mathcal N(0, 1)$. Calcule $P(|X| > 3)$.

Para $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$, qual a relação entre mediana, moda e $\mu$?

$X \sim \mathcal N(20, 4^2)$ e $Y \sim \mathcal N(10, 3^2)$ independentes. Qual a distribuição de $X + Y$?

Salário mensal $\sim \mathcal N(5000, 1500^2)$ reais. Qual o piso salarial do top 10%?

Duração de voo $\sim \mathcal N(120, 10^2)$ min. Quanto tempo reservar para ter 99% de confiança de chegar a tempo?

Retornos diários de ação $\sim \mathcal N(0{,}001,\; 0{,}01^2)$. Calcule $P(\text{perda} > 2\%)$.

Voltagem $\sim \mathcal N(220, 5^2)$. Aparelho falha se $V > 235$ V. Calcule a probabilidade de falha.

Peças com diâmetro $\mathcal N(10{,}00;\; 0{,}02^2)$ mm. Tolerância $10{,}00 \pm 0{,}05$ mm. Qual fração é rejeitada?

Pesquisa com 1000 entrevistados estima proporção real $p = 0{,}50$. Construa IC 95% para $p$.

$\bar X = 105$, $n = 25$, $\sigma = 10$ (conhecido). Construa IC 95% para $\mu$.

Teste $H_0: \mu = 100$ vs. $H_1: \mu \neq 100$. $\bar X = 105$, $n = 25$, $\sigma = 10$. Calcule o p-valor e decida.

Tempo de execução $\sim \mathcal N(50, 5^2)$ ms. Para garantir SLA com 95% das requisições abaixo do limite, qual threshold definir?

Six Sigma: especificação $\mu \pm 6\sigma$. Com ajuste de 1,5σ para deriva do processo, calcule os defeitos por milhão. Por que o resultado é 3,4 ppm e não virtualmente zero?

Gráfico X-bar com $n = 5$, $\sigma = 2$ (conhecido), $\bar{\bar{X}} = 100$. Calcule UCL e LCL a $\pm 3\sigma$.

Scores de modelo de ML $\sim \mathcal N(0{,}80,\; 0{,}05^2)$. Qual o threshold para selecionar o top 20% dos modelos?

Resistor 100Ω com tolerância $\pm 5\%$. Assumindo $\sigma = 5/3$ ohm (3$\sigma$ = tolerância), calcule a fração dentro da especificação.

Retorno anual de carteira $\sim \mathcal N(5\%, 20\%^2)$. Calcule a probabilidade de retorno negativo num ano.

Notas do ENEM (Matemática) $\sim \mathcal N(520, 110^2)$. Calcule $P(\text{nota} > 700)$.

IPCA anual modelado como $\mathcal N(4{,}5\%,\; 1{,}5\%^2)$. Meta de inflação: até 6,5%. Qual a probabilidade de estourar a meta?

Por que padronizamos para a normal padrão? O que justifica a existência de uma única tabela $\Phi(z)$?

A cauda da normal é "fina" ou "pesada"? Por que isso importa em modelagem de risco financeiro?

Mostre que se $X \sim \mathcal N(0, 1)$, então $Y = X^2$ tem distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade.

Demonstre que se $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ e $Y = aX + b$ (com $a > 0$), então $Y \sim \mathcal N(a\mu + b,\; a^2\sigma^2)$.

Demonstre que $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}$ pelo truque de coordenadas polares.

Demonstre (esboço) que a distribuição normal maximiza a entropia diferencial entre todas as distribuições contínuas com média $\mu$ e variância $\sigma^2$ fixas.