Lição 77 — Teorema Central do Limite

$X$ esponenziale con $\mu = 1$ e $\sigma = 1$. Scrivi la distribuzione approssimata di $\bar X_{100}$ e calcola $\sigma_{\bar X}$.

$X$ uniforme in $[0, 1]$. Determina $\mu$ e $\sigma^2$, e scrivi la distribuzione approssimata di $\bar X_{50}$ per il TCL.

Lancia 100 dadi non viesati. Determina la distribuzione approssimata della somma $S_{100}$, indicando $E[S]$ e $\text{Var}(S)$.

$X \sim \text{Bernoulli}(0{,}3)$. Scrivi la distribuzione approssimata di $\bar X_{200}$ per il TCL e calcola la deviazione standard della proporzione campionaria.

Una popolazione ha $\mu = 50$ e $\sigma = 10$. Per $n = 25$, calcola la deviazione standard di $\bar X$ (in numeri interi).

Usando i dati di 77.5 ($\mu = 50$, $\sigma = 10$, $n = 25$), calcola $P(\bar X > 53)$.

Con gli stessi parametri ($\mu = 50$, $\sigma = 10$, $n = 25$), calcola $P(\bar X < 47)$.

$X$ con $\mu = 100$, $\sigma = 20$, $n = 100$. Calcola $P(98 < \bar X < 102)$.

Somma di 50 v.a. iid con $\mu = 5$, $\sigma = 2$. Calcola $P(S_{50} > 270)$.

$X$ con $\mu = 10$, $\sigma = 3$. Quante osservazioni $n$ per un IC del 95% con margine di errore $\pm 0{,}5$?

Quando la dimensione campionaria $n$ è moltiplicata per 4, la deviazione standard di $\bar X$ ($= \sigma/\sqrt{n}$):

$X$ ha distribuzione molto asimmetrica (skewness = 3). Per quale dimensione di $n$ il TCL è ragionevole?

Voti con $\mu = 70$, $\sigma = 15$. Campione $n = 36$. Calcola $P(\bar X > 75)$.

Con gli stessi parametri di 77.13 ($\mu = 70$, $\sigma = 15$, $n = 36$), calcola $P(\bar X < 65)$.

Con $\mu = 70$, $\sigma = 15$, $n = 36$ e $\bar X = 72$, costruisci un IC del 95% per $\mu$.

Peso di pacchetti: $\mu = 500$ g, $\sigma = 50$ g. Campione $n = 25$. Calcola $P(\bar X > 520)$.

Con i parametri di 77.16 ($\mu = 500$ g, $\sigma = 50$ g, $n = 25$), calcola $P(485 < \bar X < 515)$.

Tempo di risposta: $\mu = 50$ ms, $\sigma = 10$ ms. Media di 100 misurazioni. Qual è il limite SLA del 95%?

Lancia un dado 1.000 volte. Calcola $P(\bar X > 3{,}6)$.

Usando la distribuzione della somma $S_{1000}$ di 1.000 lanci di dado, calcola $P(S_{1000} > 3600)$.

$X \sim \text{Exp}(1)$ ($\mu = 1$, $\sigma = 1$). Calcola $P(\bar X_{100} > 1{,}1)$.

Sondaggio elettorale: $p = 0{,}40$, $n = 1000$. Calcola $P(\hat p > 0{,}43)$.

Possiedi 50 azioni indipendenti; rendimento giornaliero di ognuna: $\mu = 0{,}1\%$, $\sigma = 2\%$. Qual è la distribuzione del rendimento medio giornaliero del portafoglio?

Modello ML: errore individuale $\sigma = 0{,}5$. Calcola la deviazione standard dell'errore medio su 1.000 predizioni.

Determina la dimensione campionaria per rilevare una differenza di proporzioni del 5% con $\alpha = 0{,}05$ e potenza dell'80%.

Stima di $\pi$ per Monte Carlo: $n$ punti casuali nel quadrato $[0,1]^2$, conta quanti cadono nel quarto di disco. Qual è la deviazione standard della stima di $\pi$ in funzione di $n$?

Lotto di 500 pezzi: $\mu = 100$ g, $\sigma = 5$ g. Determina la distribuzione della massa totale $S_{500}$.

Tempo di attesa dell'autobus: $\mathcal{U}[0, 30]$ min. Calcola $P(\bar T_{50} > 16)$ per l'attesa media di 50 passeggeri.

Grafico di controllo X-bar con $n = 5$. I limiti di controllo sono $\bar X \pm 3\sigma_{\bar X}$. Calcola la larghezza dell'intervallo in termini di $\sigma$ del processo.

Sondaggio di soddisfazione: margine di errore $\pm 3\%$ a 95% di confidenza, $p$ sconosciuto. Qual è il minimo $n$?

Durata della chiamata: $\mu = 3$ min, $\sigma = 1{,}5$ min. 100 chiamate all'ora. Determina la distribuzione del tempo totale e calcola $P(\text{totale} > 330\text{ min})$.

Test A/B: 10.000 visitatori per variante; tasso di conversione A = 5%, B = 6%. Il lift di 1 punto percentuale è statisticamente significativo? Calcola il valore $z$ e il $p$-valore.

Quale delle seguenti opzioni descrive correttamente il Teorema Centrale del Limite?

Perché il TCL classico di Lindeberg-Lévy non si applica alla distribuzione di Cauchy?

Simula il TCL in Python per distribuzione esponenziale con $\lambda = 1$. Genera istogrammi di 10.000 medie campionarie per $n \in \lbrace 1, 5, 30 \rbrace$ e confronta visivamente con la curva normale teorica.

Abbozza la dimostrazione del TCL via funzione caratteristica, indicando dove ogni ipotesi (varianza finita, iid) è usata.

Mostra che il TCL implica la Legge Debole dei Grandi Numeri: se $Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)$, allora $\bar X_n \xrightarrow{P} \mu$.