v1 · padrão canônico

Lição 94 — Modelos populacionais: Malthus e Verhulst

Crescimento exponencial (Malthus) e logístico (Verhulst). Equilíbrios, estabilidade, inflexão em K/2.

Used in: Spécialité Maths (France, Terminale) · AP Calculus BC (EUA) · Leistungskurs alemão

\dot P = rP\!\left(1 - \frac{P}{K}\right) \;\Longrightarrow\; P(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt}}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Malthus, Verhulst e analisi di equilibri

Modello di Malthus (1798)

"Se il tasso di variazione della popolazione è proporzionale alla popolazione stessa, otteniamo il modello malthusiano." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.8

Modello logistico (Verhulst, 1838)

"L'equazione logistica è un'altra equazione separabile... L'assunzione è che il tasso di crescita della popolazione sia proporzionale alla popolazione attuale, ma diminuisce quando la popolazione si avvicina alla capacità di sostentamento." — OpenStax Calculus Volume 2, §4.4

Soluzione chiusa

Via frazioni parziali:

$P(t) = \frac{K}{1 + \left(\dfrac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt}}$

Analisi di equilibri

Diagramma di fase

Diagramma di fase 1D: le frecce indicano la direzione della variazione di $P$ . $P = 0$ respinge; $P = K$ attrae.

Esempi risolti

Example— 1· Crescimento malthusiano con raddoppiamento

Problema. Una colonia batterica raddoppia ogni 20 minuti. Quanti batteri ci sono dopo 2 ore se $P_0 = 1000$ ?

Strategia. Modello di Malthus: $P(t) = P_0 e^{rt}$ . Calcola $r$ dal periodo di raddoppiamento $T_2 = 20$ min.

Risoluzione.

$P(20) = 2P_0 \Rightarrow e^{20r} = 2 \Rightarrow r = \ln 2 / 20 \approx 0{,}0347\,\text{min}^{-1}$ .

A $t = 120$ min: $P(120) = 1000 \cdot e^{120 \cdot \ln 2/20} = 1000 \cdot 2^6 = 64\,000$ .

Verifica. In 2 ore = 6 periodi di raddoppiamento: $1000 \times 2^6 = 64\,000$ . Corretto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.3, Example 1.3.1 — CC-BY-SA.

Example— 2· Logistica con capacità di sostentamento

Problema. Una popolazione di cervi in una riserva ha $K = 1200$ , $r = 0{,}4$ /anno, $P(0) = 200$ . Trova $P(t)$ e calcola quando $P = 900$ .

Strategia. Formula chiusa della logistica. Per $P = 900$ : risolvi in $t$ .

Risoluzione.

$A = (K - P_0)/P_0 = (1200 - 200)/200 = 5$ .

$P(t) = \frac{1200}{1 + 5e^{-0{,}4t}}$

Per $P = 900$ : $900(1 + 5e^{-0{,}4t}) = 1200 \Rightarrow 1 + 5e^{-0{,}4t} = 4/3 \Rightarrow e^{-0{,}4t} = 1/15$ .

$t = \ln(15)/0{,}4 \approx 2{,}71/0{,}4 \approx 6{,}8$ anni.

Verifica. $P(6{,}8) = 1200/(1 + 5e^{-2{,}71}) \approx 1200/(1 + 5 \times 0{,}0667) \approx 1200/1{,}333 \approx 900$ . Corretto.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §4.4, Example 4.14 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Derivazione della soluzione logistica per frazioni parziali

Problema. Deriva la formula chiusa della logistica a partire da $\dot P = rP(1 - P/K)$ , $P(0) = P_0$ .

Strategia. Separa le variabili e decomponi in frazioni parziali.

Risoluzione.

$\frac{dP}{P(1-P/K)} = r\,dt \;\Rightarrow\; \frac{K\,dP}{P(K-P)} = r\,dt$

Frazioni parziali: $\dfrac{K}{P(K-P)} = \dfrac{1}{P} + \dfrac{1}{K-P}$ .

Integrando: $\ln P - \ln(K-P) = rt + C_0 \Rightarrow \ln\!\left(\dfrac{P}{K-P}\right) = rt + C_0$ .

Sia $A = e^{C_0}$ : $\dfrac{P}{K-P} = A e^{rt}$ .

Risolvendo: $P = Ae^{rt}(K-P) \Rightarrow P(1 + Ae^{rt}) = KAe^{rt} \Rightarrow P = \dfrac{KAe^{rt}}{1+Ae^{rt}} = \dfrac{K}{1 + A^{-1}e^{-rt}}$ .

Per $t = 0$ : $P_0 = K/(1+1/A) \Rightarrow A = (K-P_0)/P_0$ .

$P(t) = \frac{K}{1 + \frac{K-P_0}{P_0}\,e^{-rt}}$

Verifica. $P(0) = K/(1+(K-P_0)/P_0) = KP_0/K = P_0$ . $\lim_{t\to\infty} P(t) = K$ . Corretto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.7, Example 1.7.1 — CC-BY-SA.

Example— 4· Punto di inflessione e prelievo massimo sostenibile

Problema. Per la logistica con $r = 0{,}3$ /anno, $K = 500$ , $P_0 = 50$ : (a) trova l'istante dell'inflessione $t^*$ ; (b) calcola il tasso di prelievo massimo sostenibile (MSY).

Strategia. Inflessione quando $P = K/2 = 250$ . MSY = valore massimo di $\dot P$ .

Risoluzione.

(a) Con $A = (500-50)/50 = 9$ : $P(t^*) = 250 \Rightarrow 500/(1+9e^{-0{,}3t^*}) = 250 \Rightarrow 9e^{-0{,}3t^*} = 1 \Rightarrow t^* = \ln(9)/0{,}3 \approx 7{,}3$ anni.

(b) $\dot P_{\max} = rK/4 = 0{,}3 \times 500/4 = 37{,}5$ individui/anno (si verifica a $P = 250$ ).

Verifica. $\dot P(250) = 0{,}3 \times 250 \times (1-250/500) = 75 \times 0{,}5 = 37{,}5$ . Corretto.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §4.4, Exercise 186 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Confronto Malthus vs logistica nei dati IBGE

Problema. Brasile: $P_0 = 95$ M (1970), $r = 2{,}5\%$ /anno. Usando $K = 250$ M, confronta la previsione malthusiana con la logistica per il 2024 ( $t = 54$ anni). Dati reali: 214 M.

Strategia. Calcola entrambe le formule per $t = 54$ .

Risoluzione.

Malthus: $P(54) = 95 \cdot e^{0{,}025 \times 54} = 95 \cdot e^{1{,}35} \approx 95 \times 3{,}857 \approx 366$ M.

Verhulst: $A = (250-95)/95 \approx 1{,}632$ . $P(54) = 250/(1 + 1{,}632\,e^{-1{,}35}) = 250/(1 + 1{,}632 \times 0{,}259) \approx 250/1{,}423 \approx 176$ M.

Errore relativo: Malthus +71%; Verhulst +18%.

Osservazione. Nessun modello cattura la migrazione, l'urbanizzazione e il calo del tasso di fecondità. Il logistico è migliore, ma $r$ è cambiato nel tempo.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.7, Exercise 1.7.4 — CC-BY-SA.

Exercise list

23 exercises · 5 with worked solution (25%)

Application 10Understanding 3Modeling 5Challenge 3Proof 2

Ex. 94.1ApplicationAnswer key
Risolvi $\dot P = 0{,}03P$ , $P(0) = 500$ .
Solve online
Ex. 94.2Application
Colonia batterica inizia con 500, raddoppia ogni 30 min. Quanti batteri dopo 3 ore? Trova $r$ .
Solve online
Ex. 94.3Application
Scrivi la soluzione logistica per $r = 0{,}2$ , $K = 5000$ , $P_0 = 200$ .
Solve online
Ex. 94.4Application
Per la logistica dell'esercizio precedente ( $K = 5000$ , $r = 0{,}2$ , $P_0 = 200$ ): quando si verifica l'inflessione?
Solve online
Ex. 94.5Application
Per la logistica con $r = 0{,}2$ , $K = 5000$ : identifica gli equilibri e calcola il tasso massimo sostenibile (MSY).
Solve online
Ex. 94.6Application
Specie minacciata: $\dot P = -0{,}015 P$ . Calcola il tempo di dimezzamento della popolazione.
Solve online
Ex. 94.7Application
Logistica: $K = 8000$ , $r = 0{,}3$ , $P(0) = 1000$ . Calcola $P(5)$ .
Solve online
Ex. 94.8Application
Logistica: $K = 1000$ , $r = 0{,}5$ , $P(0) = 100$ . Calcola $P(8)$ .
Solve online
Ex. 94.9Application
Determina $r$ sapendo che $P(0) = 100$ , $P(5) = 300$ , $K = 1000$ .
Solve online
Ex. 94.10Application
Carbonio-14 ha un tempo di dimezzamento di 5730 anni. Un campione conserva il 70% del carbonio originale. Quale è la sua età?
Solve online
Ex. 94.11Understanding
Quale è il tasso di crescita massimo $\dot P_{\max}$ dell'equazione logistica $\dot P = rP(1-P/K)$ ?
Solve online
Ex. 94.12Understanding
Per la logistica con $r, K > 0$ : quali valori di $P_0$ portano $P(t) \to K$ ?
Solve online
Ex. 94.13Modeling
Riserva di cervi: $K = 1200$ , $r = 0{,}4$ /anno. Quale è il prelievo massimo annuale sostenibile? A che livello di popolazione mantenere il gregge?
Solve online
Ex. 94.14Modeling
Popolazione mondiale: $P_0 = 6$ miliardi (anno 2000), $r = 1{,}2\%$ /anno, $K = 10$ miliardi. Prevedi la popolazione per il 2050 con il modello logistico.
Solve online
Ex. 94.15ModelingAnswer key
Logistica con prelievo costante: $\dot P = 0{,}3P(1-P/1500) - 50$ . Trova gli equilibri e la loro stabilità.
Solve online
Ex. 94.16ModelingAnswer key
Diffusione del prodotto: mercato di 50 000 clienti, 500 nel primo mese, $r = 0{,}6$ /mese. Quando il 90% del mercato ha adottato?
Solve online
Ex. 94.17ModelingAnswer key
All'inizio di un'epidemia ( $I$ piccolo, $S \approx N$ ), mostra che $\dot I \approx (\beta N - \gamma)I$ . Per $\beta = 0{,}3$ , $\gamma = 0{,}1$ , $N = 1000$ : c'è un'epidemia?
Solve online
Ex. 94.18Understanding
Modello di Gompertz: $\dot P = rP\ln(K/P)$ . Confronta la posizione dell'inflessione con la logistica.
Solve online
Ex. 94.19ChallengeAnswer key
Logistica con prelievo: $\dot P = 0{,}4P(1-P/1200) - H$ . Per quale valore di $H$ non esiste equilibrio positivo? Cosa accade alla popolazione in questo caso?
Solve online
Ex. 94.20Challenge
Effetto Allee: $\dot P = rP(P/A - 1)(1-P/K)$ con $0 < A < K$ . Trova gli equilibri e classificali. Cosa accade se $P_0 < A$ ?
Solve online
Ex. 94.21Challenge
Lotka-Volterra: $\dot x = 2x - xy$ , $\dot y = -y + xy$ . Trova gli equilibri e mostra che le traiettorie soddisfano $y - \ln y + x - 2\ln x = C$ .
Solve online
Ex. 94.22Proof
Dimostra che la soluzione logistica $P(t)$ ha punto di inflessione esattamente a $P = K/2$ .
Solve online
Ex. 94.23Proof
Dimostra mediante linearizzazione che $P^* = K$ è equilibrio stabile e $P^* = 0$ è instabile per l'equazione logistica con $r, K > 0$ .
Solve online

Fonti

Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · v6.6 · §1.3, §1.7–1.8 · EN · CC-BY-SA. Fonte primaria.
Calculus Volume 2 — OpenStax · §4.4 · EN · CC-BY-NC-SA.
Elementary Differential Equations — William F. Trench · §1.3 · EN · aperto.