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Lição 82 — Integral definida e área orientada

Soma de Riemann como limite. Integral definida como área orientada sob o gráfico. Propriedades: linearidade, aditividade, monotonicidade. Teorema do Valor Médio Integral.

Used in: 3.º anno del EM (17 anni) · Equiv. Math II giapponese cap. 6 · Equiv. Klasse 12 tedesca Integrale

\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definizione rigorosa

Somma di Riemann

Definition· Integrale di Riemann

Sia $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ limitata. Una partizione $P$ di $[a,b]$ è un insieme $\{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}$ . La norma della partizione è $\|P\| = \max_i \Delta x_i$ dove $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ .

Scegliendo punti campionari $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$ , la somma di Riemann è:

$S(f, P) = \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x_i.$

$f$ è integrabile in $[a,b]$ se esiste un limite $L$ tale che per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $\delta > 0$ con $|S(f,P) - L| < \varepsilon$ ogni volta che $\|P\| < \delta$ , indipendente dalla scelta dei $x_i^*$ . Si scrive $\int_a^b f(x)\, dx = L$ .

"L'integrale definito è formalmente il limite delle somme di Riemann quando la norma della partizione tende a zero." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2

Somme di Darboux

Definizione equivalente via somme inferiore e superiore:

$L(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\inf_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i, \qquad U(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\sup_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i.$

$f$ è integrabile $\iff \sup_P L(f,P) = \inf_P U(f,P)$ .

Criterio di integrabilità

Proprietà

Definition· Proprietà dell'integrale definito

Per $f$ , $g$ integrabili in $[a, b]$ e $\alpha, \beta, c \in \mathbb{R}$ con $a \leq c \leq b$ :

Linearità: $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$
Additività: $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
Inversione dei limiti: $\int_b^a f = -\int_a^b f$
Integrale nullo: $\int_a^a f = 0$
Monotonia: $f \leq g$ in $[a,b] \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g$
Triangolo: $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$

Sei rettangoli di Riemann che approssimano l'integrale. Man mano che $n \to \infty$ e $\|P\| \to 0$ , la somma converge all'area esatta.

Teorema del Valore Medio Integrale

Esempi risolti

Example— 1· Somma di Riemann con n = 4 (basilare)

Problema. Stima $\int_0^2 x^2\, dx$ usando la somma di Riemann a destra con $n = 4$ sottointervalli.

Strategia. Dividi $[0, 2]$ in 4 parti uguali, prendi il punto a destra di ogni parte, calcola la somma.

Risoluzione. $\Delta x = 2/4 = 0{,}5$ . Punti destri: $x_1^* = 0{,}5$ , $x_2^* = 1$ , $x_3^* = 1{,}5$ , $x_4^* = 2$ .

$S_4 = f(0{,}5) + f(1) + f(1{,}5) + f(2)) \cdot 0{,}5 = (0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) \cdot 0{,}5 = 7{,}5 \cdot 0{,}5 = 3{,}75.$

(Il valore esatto per TFC è $\int_0^2 x^2\, dx = 8/3 \approx 2{,}67$ . La somma a destra ha sovrastimato perché $x^2$ è crescente.)

Verifica. Somma con $n$ grande converge a $8/3$ : conferma che $3{,}75$ è un'approssimazione per eccesso.

Fonte. APEX Calculus, §5.2, Esempio 5.2.4 — CC-BY-NC.

Example— 2· Interpretazione geometrica di integrale con funzione negativa (basilare)

Problema. Interpreta geometricamente $\int_0^\pi \sin x\, dx$ e $\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx$ .

Strategia. $\sin x \geq 0$ in $[0, \pi]$ e $\sin x \leq 0$ in $[\pi, 2\pi]$ . L'integrale definito misura area orientata.

Risoluzione.

$\int_0^\pi \sin x\, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$ (area sopra l'asse: $+2$ ).
$\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx = [-\cos x]_\pi^{2\pi} = -\cos 2\pi + \cos\pi = -1 - 1 = -2$ (area sotto l'asse: contributo $-2$ ).

Quindi $\int_0^{2\pi} \sin x\, dx = 2 + (-2) = 0$ . L'area geometrica totale è $2 + 2 = 4$ , ma l'integrale è zero.

Verifica. Additività: $\int_0^\pi + \int_\pi^{2\pi} = 2 - 2 = 0 = \int_0^{2\pi} \sin x\, dx$ . Verifica.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2, Esempio 5.18 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Stima per limite (intermedio)

Problema. Mostra che $2 \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq 2\sqrt{3}$ .

Strategia. Usa monotonia: limita $\sqrt{x+1}$ in $[0, 2]$ da sotto e da sopra.

Risoluzione. In $[0, 2]$ : minimo di $\sqrt{x+1}$ in $x = 0$ è $\sqrt{1} = 1$ ; massimo in $x = 2$ è $\sqrt{3}$ .

Per monotonia: $\int_0^2 1\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{3}\, dx$ , ovvero $2 \leq \int \leq 2\sqrt{3}$ .

Verifica. Il valore esatto per TFC: $\int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx = \left[\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\right]_0^2 = \frac{2}{3}(3^{3/2} - 1) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3} - 1) \approx 2{,}80$ , che sta tra 2 e $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ . Verifica.

Fonte. Active Calculus, §4.2, Esercizio 4.2.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Valore medio di funzione continua (sfida)

Problema. Calcola il valore medio di $f(x) = x^2$ nell'intervallo $[1, 4]$ .

Strategia. Usa la formula del valore medio: $f_{\text{med}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ .

Risoluzione. $f_{\text{med}} = \frac{1}{4-1}\int_1^4 x^2\, dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^4 = \frac{1}{3}\left(\frac{64}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7.$

Per TVM integrale, esiste $c \in (1, 4)$ tale che $f(c) = 7$ , ovvero $c^2 = 7$ , quindi $c = \sqrt{7} \approx 2{,}65 \in (1, 4)$ . Verifica.

Verifica. $\sqrt{7} \approx 2{,}65$ sta dentro l'intervallo $(1, 4)$ , come garantito dal TVM. Verifica.

Fonte. APEX Calculus, §5.3, Esempio 5.3.4 — CC-BY-NC.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 4Challenge 3Proof 1

Ex. 82.1Application
Stima $\int_0^4 x^2\, dx$ usando la somma di Riemann a destra con $n = 4$ e $\Delta x = 1$ .
Solve online
Ex. 82.2Application
Stima $\int_0^4 x^2\, dx$ usando la somma di Riemann a sinistra con $n = 4$ e $\Delta x = 1$ .
Solve online
Ex. 82.3Application
Calcola $\int_0^3 (2x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.4Application
Calcola $\int_1^4 3x^2\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.5ApplicationAnswer key
Calcola $\int_0^\pi \cos x\, dx$ e interpreta il risultato geometricamente.
Solve online
Ex. 82.6Application
Calcola $\int_0^1 e^x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.7Application
Calcola $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.8Application
Calcola $\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.9Application
Calcola $\int_0^{\pi/2} \sin x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.10Application
Calcola $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.11Application
Sapendo che $\int_0^2 f(x)\, dx = 3$ e $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , calcola $\int_0^5 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.12ApplicationAnswer key
Sapendo che $\int_1^3 f(x)\, dx = 5$ e $\int_1^3 g(x)\, dx = 7$ , calcola $\int_1^3 (4f(x) - 2g(x))\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.13Application
Se $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , qual è $\int_5^2 f(x)\, dx$ ?
Solve online
Ex. 82.14ApplicationAnswer key
Calcola $\int_0^4 \sqrt{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.15Application
Calcola $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.16Understanding
Senza calcolare, qual è il segno di $\int_{-\pi}^\pi \sin x\, dx$ ?
Solve online
Ex. 82.17Understanding
Quale affermazione su $\int_a^b f(x)\, dx$ è corretta?
Solve online
Ex. 82.18ModelingAnswer key
Un veicolo ha velocità $v(t) = 3t^2 + 2$ m/s. Quale la distanza percorsa da $t = 0$ a $t = 4$ s?
Solve online
Ex. 82.19ModelingAnswer key
La temperatura di un reattore industriale varia come $T(t) = 2t + 1$ °C durante le prime 6 ore di operazione. Calcola la temperatura media in questo periodo.
Solve online
Ex. 82.20ApplicationAnswer key
Sapendo che $\int_1^5 f(x)\, dx = 10$ e $\int_3^5 f(x)\, dx = 4$ , calcola $\int_1^3 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.21Application
Calcola $\int_{-2}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.22Application
Calcola $\int_2^5 (4 - x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.23Modeling
Calcola l'area geometrica totale (sempre positiva) delimitata da $y = \sin x$ e l'asse $x$ in $[0, 2\pi]$ .
Solve online
Ex. 82.24Challenge
Usa la proprietà di monotonia per stabilire coste superiore e inferiore per $\int_0^1 (x^2 + 1)\, dx$ , senza calcolare.
Solve online
Ex. 82.25Challenge
Calcola il valore medio di $f(x) = \sin x$ in $[0, \pi]$ e trova il valore di $c$ garantito dal TVM integrale.
Solve online
Ex. 82.26Application
Calcola $\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.27Application
Calcola $\int_0^2 (e^x - 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.28Challenge
Stabilisci coste per $\int_1^3 \sqrt{x}\, dx$ e poi calcola il valore esatto.
Solve online
Ex. 82.29ModelingAnswer key
Una forza variabile $F(x) = 10 - 2x$ N agisce su un oggetto che si sposta da $x = 0$ a $x = 3$ m. Calcola il lavoro svolto ( $W = \int_0^3 F(x)\, dx$ ).
Solve online
Ex. 82.30Proof
Dimostra la proprietà di inversione dei limiti: $\int_b^a f(x)\, dx = -\int_a^b f(x)\, dx$ .
Solve online

Fonti

Active Calculus — Boelkins · §4.2 · CC-BY-NC-SA. Costruzione intuitiva delle somme di Riemann, attività con grafico.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.2–5.3 · CC-BY-NC. Definizione formale, proprietà, esempi numerici.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · CC-BY-NC-SA. Criterio di integrabilità, proprietà, esempi con funzioni positive e negative.