v1 · padrão canônico

Lição 83 — Teorema Fundamental do Cálculo

TFC Parte 1 e Parte 2. A ponte entre derivada e integral. Regra de Leibniz para limites variáveis. Newton e Leibniz, séc. XVII.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã

\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Enunciato e dimostrazioni

TFC — Parte 1: derivare l'integrale

"Il TFC1 afferma che la derivata della funzione definita da un integrale con limite superiore variabile è uguale all'integrando valutato al limite superiore." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3

Dimostrazione del TFC1. Per definizione di derivata:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{G(x+h) - G(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\, dt.$

Per il Teorema del Valor Medio Integrale, esiste $c_h$ tra $x$ e $x+h$ tale che $\int_x^{x+h} f(t)\, dt = f(c_h) \cdot h$ . Dunque:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} f(c_h).$

Poiché $c_h \to x$ quando $h \to 0$ e $f$ è continua, $f(c_h) \to f(x)$ . Pertanto $G'(x) = f(x)$ . $\square$

TFC — Parte 2: calcolare l'integrale

Dimostrazione del TFC2. Per il TFC1, $G(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ soddisfa $G' = f$ . Poiché $F' = f$ anche, $F - G$ ha derivata zero in $(a, b)$ , dunque $F(x) = G(x) + C$ per qualche costante $C$ . Allora:

$F(b) - F(a) = [G(b) + C] - [G(a) + C] = G(b) - G(a) = \int_a^b f - 0 = \int_a^b f. \quad \square$

Regola di Leibniz (limiti variabili)

Esempi risolti

Example— 1· TFC2 applicato a polinomio (basico)

Problema. Calcola $\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx$ .

Strategia. Trovare la primitiva usando il TFC2: $F(x)$ con $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Poi $F(3) - F(1)$ .

Risoluzione. $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - x.$

$\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx = F(3) - F(1) = \left(9 + 9 - 3\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 1\right) = 15 - \frac{1}{3} = \frac{44}{3}.$

Verifica. $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Coincide.

Fonte. APEX Calculus, §5.4, Esempio 5.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 3· TFC1 per derivare l'integrale (intermedio)

Problema. Calcola $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt$ .

Strategia. TFC1 combinato con regola della catena: il limite superiore è $v(x) = x^3$ .

Risoluzione. $\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt = \cos((x^3)^2) \cdot (x^3)' = \cos(x^6) \cdot 3x^2.$

Verifica. La regola generale di Leibniz: $\frac{d}{dx}\int_a^{v(x)} f(t)\, dt = f(v(x)) \cdot v'(x)$ . Applicata con $f(t) = \cos(t^2)$ , $v(x) = x^3$ : $\cos(x^6) \cdot 3x^2$ . Coincide.

Fonte. APEX Calculus, §5.4, Esempio 5.4.5 — CC-BY-NC.

Example— 4· Regola di Leibniz con entrambi i limiti variabili (intermedio)

Problema. Calcola $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt$ per $x > 0$ .

Strategia. Regola di Leibniz generale: $f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x)$ con $v(x) = x^2$ , $u(x) = x$ , $f(t) = 1/t$ .

Risoluzione. $\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \frac{1}{x^2} \cdot 2x - \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x}.$

Verifica. Alternativamente: $\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \ln(x^2) - \ln x = 2\ln x - \ln x = \ln x$ . Derivando: $(\ln x)' = 1/x$ . Coincide.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3, Esercizio 5.132 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Area tra curva e asse con cambio di segno (sfida)

Problema. Calcola l'area geometrica totale tra $y = x^2 - 4$ e l'asse $x$ su $[-3, 3]$ .

Strategia. La funzione $f(x) = x^2 - 4$ è negativa in $(-2, 2)$ e positiva fuori. Dividi l'intervallo negli zeri per sommare aree con segno corretto.

Risoluzione. Zeri: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .

In $[-3, -2]$ e $[2, 3]$ : $f \geq 0$ . In $[-2, 2]$ : $f \leq 0$ .

$A = \int_{-3}^{-2}(x^2-4)\, dx + \left|\int_{-2}^{2}(x^2-4)\, dx\right| + \int_2^3(x^2-4)\, dx.$

$F(x) = x^3/3 - 4x$ .

$F(-2) - F(-3) = (-8/3 + 8) - (-9 + 12) = 16/3 - 3 = 7/3$ .
$F(2) - F(-2) = (8/3 - 8) - (-8/3 + 8) = -32/3$ . Valore assoluto: $32/3$ .
$F(3) - F(2) = (9 - 12) - (8/3 - 8) = -3 + 16/3 = 7/3$ .

Area totale: $7/3 + 32/3 + 7/3 = 46/3$ .

Verifica. L'integrale $\int_{-3}^3 (x^2 - 4)\, dx = F(3) - F(-3) = (9-12) - (-9+12) = -3 - 3 = -6 \neq 46/3$ . L'integrale definito differisce dall'area geometrica quando $f$ cambia segno.

Fonte. Active Calculus, §4.4, Esercizio 4.4.5 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 3Challenge 4Proof 1

Ex. 83.1Application
Calcola $\int_0^3 2x\, dx$ per il TFC2.
Solve online
Ex. 83.2Application
Calcola $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.3Application
Calcola $\int_0^\pi \sin x\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.4Application
Calcola $\int_0^2 e^x\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.5Application
Calcola $\int_0^2 (x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.6Application
Calcola $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.7Application
Se $G(x) = \int_0^x (t^2 + 1)\, dt$ , calcola $G'(x)$ per il TFC1.
Solve online
Ex. 83.8Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2} \sin t\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.9Application
Calcola $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.10Application
Calcola $\int_1^9 \sqrt{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.11Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^3} \sqrt{1 + t^2}\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.12Application
Calcola $\int_0^\pi (\cos x + \sin x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.13Application
Calcola $\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.14UnderstandingAnswer key
Se $G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\, dt$ , quale è $G'(x)$ per il TFC1?
Solve online
Ex. 83.15Understanding
Se $F'(x) = f(x)$ , quale è l'espressione corretta per $\int_a^b f(x)\, dx$ per il TFC2?
Solve online
Ex. 83.16ApplicationAnswer key
Calcola $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^1 t^3\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.17Application
Calcola $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.18ModelingAnswer key
Un oggetto ha velocità $v(t) = t^2 - 4t + 3$ m/s. Calcola lo spostamento netto e la distanza totale percorsa da $t = 0$ a $t = 4$ s.
Solve online
Ex. 83.19ApplicationAnswer key
Calcola $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{x^2} e^{t^2}\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.20Application
Calcola $\int_0^2 (2x^3 - 3x^2)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.21Modeling
Il costo marginale di produzione di una fabbrica è $C'(q) = 2q + 50$ reais per unità. Calcola il costo totale di produrre le prime 100 unità.
Solve online
Ex. 83.22ChallengeAnswer key
Definisci $G(x) = \int_1^x (2t - 1)\, dt$ . Calcola $G(x)$ esplicitamente, verifica che $G'(x) = 2t - 1$ , e valuta $G(1)$ e $G(3)$ .
Solve online
Ex. 83.23ApplicationAnswer key
Sapendo che $\int_0^5 f(x)\, dx = 12$ e $\int_0^2 f(x)\, dx = 5$ , calcola $\int_2^5 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.24Challenge
Calcola l'area della regione delimitata da $y = x^2 - x$ e l'asse $x$ su $[0, 1]$ .
Solve online
Ex. 83.25Application
Calcola $\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.26Application
Calcola $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x \cos(t^2)\, dt$ senza calcolare la primitiva.
Solve online
Ex. 83.27ModelingAnswer key
La potenza elettrica di una fabbrica varia come $P(t) = 3 + 0{,}5t$ kW ( $t$ in ore). Calcola l'energia consumata nelle prime 12 ore di operazione e il costo al valore di R$ 0,85 per kWh.
Solve online
Ex. 83.28Challenge
Calcola $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{\sin x}^{\cos x} t^2\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.29Challenge
Calcola il valore medio di $f(x) = x^2$ su $[0, 3]$ e trova il punto $c$ garantito dal TVM integrale.
Solve online
Ex. 83.30Proof
Prova il TFC2 a partire dal TFC1: se $F' = f$ e $f$ è continua su $[a,b]$ , allora $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$ .
Solve online

Fonti

Active Calculus — Boelkins · §4.4 · CC-BY-NC-SA. Motivazione fisica, attività di scoperta delle due parti del TFC.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.4 · CC-BY-NC. Dimostrazioni di TFC1 e TFC2, regola di Leibniz, esercizi variati.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · CC-BY-NC-SA. Contesto storico Newton/Leibniz, esempi di differenziazione di integrali.