Lição 84 — Técnica: substituição (u-substitution)

Calcola $\int (2x+1)^4\, dx$.

Calcola $\int x(x^2 - 3)^5\, dx$.

Calcola $\int \cos^3 x \sin x\, dx$.

Calcola $\int x^2 e^{x^3 + 2}\, dx$.

Calcola $\int \frac{x}{x^2 + 1}\, dx$.

Calcola $\int \cos(3x)\, dx$.

Calcola $\int x e^{-x^2/2}\, dx$.

Calcola $\int \frac{(\ln x)^2}{x}\, dx$.

Calcola $\int \sin^4 x \cos x\, dx$.

Calcola $\int \sqrt{4 - 3x}\, dx$.

Calcola $\int (x+2)(x^2+4x)^3\, dx$.

Calcola $\int \sin(2x)\, dx$.

Calcola $\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\, dx$.

Calcola $\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + 1}\, dx$.

Calcola $\int \cot x\, dx$.

Calcola $\int e^{5x}\, dx$.

Calcola $\int \frac{x^2}{x^3 + 1}\, dx$.

Quale sostituzione $u$ è più adatta per calcolare $\int 3x^2(x^3+1)^4\, dx$?

Quando si prova a usare la sostituzione $u = g(x)$, ci si accorge che il $g'(x)$ è moltiplicato per una costante diversa da 1. Che cosa fare?

Calcola $\int_0^{\pi/4} e^{\sin^2 x} \sin x \cos x\, dx$.

Calcola $\int \tan^3 x \sec^2 x\, dx$.

Calcola $\int_1^2 x^2(x^3 + 1)^4\, dx$.

Un fondo di reddito fisso ha tasso di versamento di R$ 500 al mese con crescita esponenziale: $r(t) = 500 e^{0{,}08t}$ reali al mese. Calcola il saldo accumulato dopo 12 mesi.

Calcola $\int x\cos(x^2)\, dx$.

Calcola $\int \frac{1}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x}}\, dx$.

Calcola $\int_0^\pi \cos(\sin x) \cos x\, dx$. (Suggerimento: osserva i limiti dopo la sostituzione.)

Calcola $\int \frac{e^x}{e^{2x} + 1}\, dx$.

Prova a calcolare $\int \sec^3 x\, dx$ per sostituzione. Identifica perché la sostituzione semplice fallisce qui, e scrivi la risposta (che richiede integrazione per parti, Lezione 85).

Dimostra che $\int f(ax + b)\, dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C$ dove $F' = f$ e $a \neq 0$.

Un veicolo ha accelerazione $a(t) = 10e^{-0{,}5t}$ m/s², partendo da fermo ($v(0) = 0$). Trova $v(t)$ usando sostituzione e calcola la velocità in $t = 4$ s.