v1 · padrão canônico

Lição 87 — Integrais trigonométricas e substituição trigonométrica

∫ sinⁿcos^m via identidades e sub u. Substituição trigonométrica para radicais √(a²±x²) e √(x²−a²). Fórmulas de redução de potências.

Used in: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\int \sin^n x \cos^m x\, dx \quad \bigg| \quad x = a\sin\theta,\; x = a\tan\theta,\; x = a\sec\theta

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Identità, schemi e sostituzioni

Schemi per $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$

Definition· Strategia secondo la parità degli esponenti

Situazione	Strategia
$n$ dispari	Riservate $\sin x\, dx$ ; convertite $\sin^{n-1}$ via $\sin^2 = 1 - \cos^2$ ; sostituite $u = \cos x$
$m$ dispari	Riservate $\cos x\, dx$ ; convertite $\cos^{m-1}$ via $\cos^2 = 1 - \sin^2$ ; sostituite $u = \sin x$
Entrambi pari	Usate half-angle ripetutamente

Per $\int \tan^n x \sec^m x\, dx$ :

Situazione	Strategia
$m$ pari	Riservate $\sec^2 x\, dx$ ; convertite via $\sec^2 = 1 + \tan^2$ ; sost $u = \tan x$
$n$ dispari	Riservate $\sec x \tan x\, dx$ ; convertite via $\tan^2 = \sec^2 - 1$ ; sost $u = \sec x$

"The strategy for integrating a product of powers of sine and cosine depends on the parities of the exponents involved. When one of the exponents is odd, we 'peel off' one factor and use the Pythagorean identity to convert the remaining even power." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2

Sostituzione trigonometrica

"The idea behind trigonometric substitution is to replace an expression involving a square root with a trigonometric expression, which is easier to integrate." — APEX Calculus §6.4

Esempi risolti

Example— 1· Potenza dispari di seno (base)

Problema. Calcolate $\int \sin^3 x\, dx$ .

Strategia. Esponente dispari: riservate $\sin x\, dx$ , convertite $\sin^2 = 1 - \cos^2$ , sostituite $u = \cos x$ .

Risoluzione.

$\int \sin^3 x\, dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x\, dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\, dx$ .

Sost $u = \cos x$ , $du = -\sin x\, dx$ :

$-\int (1 - u^2)\, du = -u + u^3/3 + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$ .

Verifica. Derivando: $\sin x - \cos^2 x\sin x = \sin x(1 - \cos^2 x) = \sin^3 x$ . Corretto.

Fonte. APEX Calculus §6.3, Example 6.3.1 — CC-BY-NC.

Example— 2· Esponenti pari — half-angle (base)

Problema. Calcolate $\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ .

Strategia. Entrambi pari: usate $\sin x\cos x = \sin(2x)/2$ e poi half-angle.

Risoluzione.

$\sin^2 x\cos^2 x = (\sin x\cos x)^2 = \frac{\sin^2(2x)}{4} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{8}$ .

$\int \sin^2 x\cos^2 x\, dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C.$

Verifica. Derivando: $1/8 - \cos(4x)/8 = (1 - \cos 4x)/8 = \sin^2(2x)/4 = \sin^2 x\cos^2 x$ . Corretto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2, Example 3.12 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Sostituzione x = a sin θ per √(a² − x²) (intermedio)

Problema. Calcolate $\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ .

Strategia. Radicale $\sqrt{a^2 - x^2}$ con $a = 2$ : sost $x = 2\sin\theta$ .

Risoluzione.

$dx = 2\cos\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$ (con $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ ).

$\int 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta\, d\theta = 4\int\cos^2\theta\, d\theta = 4\cdot\frac{\theta + \sin\theta\cos\theta}{2} = 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + C$ .

Triangolo di riferimento ( $\sin\theta = x/2$ , ipotenusa 2, cateto adiacente $\sqrt{4-x^2}$ ):

$\theta = \arcsin(x/2)$ ; $\cos\theta = \sqrt{4-x^2}/2$ .

Risultato: $2\arcsin(x/2) + 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-x^2}}{2} + C = 2\arcsin(x/2) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$ .

Verifica. Derivando (regola della catena): $\frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{\sqrt{4-x^2} - x^2/\sqrt{4-x^2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{4 - 2x^2}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2}$ . Corretto.

Fonte. APEX Calculus §6.4, Example 6.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 4· Sostituzione x = a tan θ per √(a² + x²) (intermedio)

Problema. Calcolate $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ .

Strategia. Radicale $\sqrt{a^2 + x^2}$ con $a = 1$ : sost $x = \tan\theta$ .

Risoluzione.

$dx = \sec^2\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{1+x^2} = \sec\theta$ .

$\int \frac{\sec^2\theta}{\sec\theta}\, d\theta = \int \sec\theta\, d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C$ .

Triangolo ( $\tan\theta = x$ , ipotenusa $\sqrt{1+x^2}$ ): $\sec\theta = \sqrt{1+x^2}$ , $\tan\theta = x$ .

Risultato: $\ln\lvert x + \sqrt{1+x^2}\rvert + C$ (equivalente a $\text{arcsinh}(x) + C$ ).

Verifica. Derivando $\ln(x + \sqrt{1+x^2})$ : $\frac{1 + x/\sqrt{1+x^2}}{x + \sqrt{1+x^2}} = \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)/\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ . Corretto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.3, Example 3.15 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Formula di riduzione e applicazione (sfida)

Problema. Derivate la formula di riduzione $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ e usatela per calcolare $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx$ .

Strategia. Derivazione per parti; applicazione per $n = 4$ e $n = 2$ .

Risoluzione.

Derivazione: $u = \sin^{n-1}x$ , $dv = \sin x\, dx$ . $du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\, dx$ , $v = -\cos x$ .

$\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\cos^2 x\sin^{n-2}x\, dx$ .

Sostituite $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ :

$(n-1)\int(1 - \sin^2 x)\sin^{n-2}x\, dx = (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx - (n-1)\int\sin^n x\, dx$ .

Riorganizzate: $n\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx$ . Dividete per $n$ .

Applicazione: $n = 4$ : $\int\sin^4 x\, dx = -\frac{\sin^3 x\cos x}{4} + \frac{3}{4}\int\sin^2 x\, dx$ .

$\int\sin^2 x\, dx = x/2 - \sin(2x)/4$ .

Valutando in $[0, \pi/2]$ : $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = 0 + \frac{3}{4}\left[\frac{\pi}{4} - 0\right] = \frac{3\pi}{16}$ .

Verifica. Formula di Wallis: $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = \frac{3\cdot 1}{4\cdot 2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$ . Conferma.

Fonte. APEX Calculus §6.3, Theorem 6.3.1 — CC-BY-NC.

Exercise list

32 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 24Modeling 4Challenge 2Proof 2

Ex. 87.1Application
Calcolate $\int \sin^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.2Application
Calcolate $\int \cos^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.3ApplicationAnswer key
Calcolate $\int \sin^3 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.4Application
Calcolate $\int \cos^3 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.5ApplicationAnswer key
Calcolate $\int \sin^4 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.6Application
Calcolate $\int \cos^4 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.7Application
Calcolate $\int \sin^5 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.8Application
Calcolate $\int \tan^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.9ApplicationAnswer key
Calcolate $\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.10ApplicationAnswer key
Calcolate $\int \sin^3 x \cos x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.11ApplicationAnswer key
Calcolate $\int \sin x \cos^3 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.12Application
Calcolate $\int \sin^3 x \cos^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.13Application
Calcolate $\int \sin(3x)\cos(2x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.14Application
Calcolate $\int \tan^2 x \sec^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.15Application
Calcolate $\int \sqrt{1 - x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.16Application
Calcolate $\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.17Application
Calcolate $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.18ApplicationAnswer key
Calcolate $\int \dfrac{1}{\sqrt{9 - x^2}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.19Application
Calcolate $\int \dfrac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.20Application
Calcolate $\int \dfrac{1}{1 + x^2}\, dx$ via sostituzione $x = \tan\theta$ .
Solve online
Ex. 87.21Application
Calcolate $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.22Application
Calcolate $\int \sqrt{1 + x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.23ApplicationAnswer key
Calcolate $\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.24Application
Calcolate $\int \sqrt{x^2 - 4}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.25Modeling
Provate che l'area del cerchio di raggio $r$ è $\pi r^2$ calcolando $A = 4\int_0^r \sqrt{r^2 - x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.26Modeling
Distribuzione di Cauchy: verificate che $f(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$ soddisfa $\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx = 1$ .
Solve online
Ex. 87.27Modeling
Tensione efficace (RMS) di $v(t) = V_0\sin(\omega t)$ : calcolate $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2\, dt}$ dove $T = 2\pi/\omega$ .
Solve online
Ex. 87.28Modeling
Area dell'ellisse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ : calcolate $A = 4\int_0^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}\, dx$ e mostrate che $A = \pi ab$ .
Solve online
Ex. 87.29ChallengeAnswer key
Calcolate $\int \sec^5 x\, dx$ usando la formula di riduzione per $\sec^n$ .
Solve online
Ex. 87.30Challenge
Calcolate $\int \dfrac{1}{\sin x}\, dx = \int \csc x\, dx$ usando la sostituzione di Weierstrass $t = \tan(x/2)$ .
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Ex. 87.31Proof
Dimostrazione. Provate la formula di riduzione $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ usando l'integrazione per parti.
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Ex. 87.32Proof
Dimostrazione. Provate che $\int \sec x\, dx = \ln\lvert \sec x + \tan x\rvert + C$ moltiplicando per $(\sec x + \tan x)/(\sec x + \tan x)$ .
Solve online

Fonti

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.3–6.4. Fonte primaria.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.2–3.3.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.4–5.5.

Lição 87 — Integrais trigonométricas e substituição trigonométrica

Identità, schemi e sostituzioni

Identità fondamentali

Schemi per $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$

Sostituzione trigonometrica

Formule di riduzione

Esempi risolti

Exercise list

Fonti

Identità, schemi e sostituzioni

Identità fondamentali

Schemi per ∫sin⁡nxcos⁡mx dx\int \sin^n x \cos^m x\, dx∫sinnxcosmxdx

Sostituzione trigonometrica

Formule di riduzione

Esempi risolti

Fonti

Schemi per $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$