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第2課 — 関数：定義、定義域、像

関数を数学的対象として：2つの集合間の一意対応のルール。定義域、終域、像。単射、全射、全単射。

Used in: 高等学校1年生（15歳） · 日本の数学I第2章相当 · ドイツのKlasse 10

f : A \to B,\quad x \mapsto f(x)

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

「関数は、各入力値が正確に1つの出力値を生成する関係です。」— OpenStax College Algebra 2e, §3.1

定義域のすべての要素は終域のちょうど1つの要素を指します。 $x_3$ は $f(x_1)$ と同じものに写像できることに注意してください — 関数は異なる値を同じ宛先に送ることができます。

解法例

難易度が上がる5つの例 — 最も直接的な（数値評価と定義域の読み取り）から実モデリング（段階的料金）まで。各例は出典を引用しています。

Example— 1· 例1 — 評価と直接的な定義域（応用）

問題： $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ に対して、 $f(-1)$ 、 $f(0)$ 、 $f(2)$ を計算します。最大定義域を決定します。

戦略： 関数のある点での評価は、変数を与えられた値に置き換え、計算することを意味します。多項式の最大定義域は、多項式がどの実数でも定義されているため、すべての $\mathbb{R}$ です。

解法：

$f(-1)$ ： $x = -1$ を代入： $f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 3(1) + 2 + 1 = 6$ 。
$f(0)$ ： $x = 0$ を代入： $f(0) = 3(0)^2 - 2(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$ 。
$f(2)$ ： $x = 2$ を代入： $f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 3(4) - 4 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9$ 。
定義域： $f$ は多項式なので制限がありません。定義域 = $\mathbb{R}$ 。

確認： 3つの値はすべて有限です。一貫性を確認するには、 $f(0) = 1$ が独立係数であることに注意してください — すべての多項式に対して常に当てはまります。

出典。 OpenStax — College Algebra 2e §3.1 — CC-BY 4.0ライセンス。

Example— 2· 例2 — 組み合わせた制限での最大定義域（中級）

問題： $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}$ の最大定義域を決定します。

戦略： 同時に2つの制限があります：被平方根 $x + 2$ は非負である必要があります（実数の平方根が存在するため）、分母 $x - 3$ はゼロではできません。定義域はこれら2つの条件の交集合です。

解法：

平方根の制限： $x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$ 、または $x \in [-2, +\infty)$ 。
分母の制限： $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ 、または $x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$ 。
交集合： $[-2, +\infty) \cap (\mathbb{R} \setminus \{3\}) = [-2, 3) \cup (3, +\infty)$ 。

確認：

出典。 OpenStax — College Algebra 2e §3.2 — CC-BY 4.0ライセンス。

3 exercises · 1 with worked solution (25%)

Application 3

Ex. 2.1Application
$f(x) = 3x + 1$ の最大定義域を決定します。
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Ex. 2.2ApplicationAnswer key
$g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ の最大定義域を決定します。
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Ex. 2.3Application
$h(x) = \sqrt{x - 5}$ の最大定義域を決定します。
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