第11講 — 直角三角形における三角比

直角三角形で、鋭角 $\theta$ の対辺は3、隣辺は4です。$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ を計算してください。ピタゴラス恒等式で検証。

直角三角形の辺は $5$ と $12$。斜辺を計算し、測度5の対辺に向かう角度の $\sin$、$\cos$、$\tan$ を計算してください。

斜辺 $= 13$、$\theta$ の対辺は5。$\sin\theta$ と $\cos\theta$ を計算してください。

30-60-90三角形から $\sin 30°$、$\cos 30°$、$\tan 30°$ の正確な値を導出してください。表を使用しないで — 三角形を構築してください。

前の演習と同じ30-60-90三角形から、$\sin 60°$、$\cos 60°$、$\tan 60°$ を導出してください。

45-45-90三角形から $\sin 45°$、$\cos 45°$、$\tan 45°$ を導出してください。三角形を構築し、各ステップを正当化してください。

$\sin\theta = \sqrt{3}/2$ で $\theta$ が鋭角なら、$\theta$ の値は何ですか？

$\cos\theta = 1/2$ で $\theta$ が鋭角なら、$\theta$ の値は何ですか？

$\tan\theta = 1$ で $\theta$ が鋭角なら、$\theta$ の値は何ですか？

30°-60°-90°三角形で斜辺が10、2つの辺を計算してください。ピタゴラスで検証。

$\sin\theta = 3/5$ で $\theta$ が鋭角なら、$\cos\theta$ を計算してください。

$\cos\theta = 5/13$ で $\theta$ が鋭角なら、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ を計算してください。

$\tan\theta = 2/3$ で $\theta$ が鋭角なら、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ を計算してください。

特別値を使用して恒等式 $\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1$ を数値的に検証してください。次に45°と60°を検証してください。

直角三角形での定義から $\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta$ を示してください。

直角三角形から $\sin(90° - \theta) = \cos\theta$ を直接示してください。

$\sin 60°$ と $\cos 60°$ を比較してください。どちらが大きい？なぜ？

すべての鋭角 $\theta$ に対して $0 < \sin\theta < 1$ を示してください。

$\sin\theta$ が $(0°, 90°)$ で厳密に増加する理由を幾何学的に論証してください。

$\theta \to 90°^-$ のとき $\tan\theta \to +\infty$ である理由を幾何学的に正当化してください。

斜辺20 cm、鋭角35°の直角三角形で2つの辺を計算してください。($\sin 35° \approx 0{,}574$ と $\cos 35° \approx 0{,}819$ を使用。) ピタゴラスで検証。

対辺 $= 6$、角度 $\theta = 40°$。斜辺を計算してください。($\sin 40° \approx 0{,}643$ を使用。)

隣辺 $= 10$、角度 $\theta = 25°$。対辺を計算してください。($\tan 25° \approx 0{,}466$ を使用。)

斜辺 $= 25$、対辺 $= 7$。角度 $\theta$ を計算してください。

直角三角形の辺は $8$ と $15$。斜辺と2つの鋭角を計算してください。

辺 $\ell$ の正三角形で、三角法で高さを計算し、ピタゴラスの結果と比較してください。

辺 $\ell$ の正方形で、三角法で対角線を計算してください。ピタゴラスと比較。

恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ がピタゴラスの定理と同等であることを示してください。（辺を斜辺と角の関数で表し、$a^2 + b^2 = c^2$ に代入。）

隣辺 $b$ と斜辺 $c$ を持つ直角三角形で、$b$ と $c$ の関数として $\tan\theta$ を表現してください。

（電卓なしで）$\sin 15°$ を計算してください。（ヒント：$15° = 45° - 30°$。角度差の公式を使用 — 必要に応じて検索。）

5メートルの梯子が地面と70°の角を形成して壁に立てかけられている。どの高さで壁に接触しますか？

塔の基部から50メートル離れている。頂上への仰角は40°。塔の高さを計算してください。($\tan 40° \approx 0{,}839$ を使用。)

飛行機は離陸後、水平距離5 kmで高度1,500メートルに達する。平均上昇角は何ですか？

船は200メートルの灯台を仰角3°で観測。灯台の基部からどのくらい離れている？($\tan 3° \approx 0{,}0524$ を使用。)

アクセシビリティランプの最大傾斜は5°。80 cmの段差を克服するために最小ランプ長は何ですか？($\sin 5° \approx 0{,}0872$ を使用。) パーセンテージで勾配も計算。

日食時、月は地球から見て角直径0.5°。月の実際の直径が3,474 kmなら、地球-月距離を推定してください。($\tan(0{,}25°) \approx 0{,}004363$ を使用。)

200Nの力が水平方向とのなす角度30°で物体に加わる。水平・垂直成分を計算。結果ベクトルの大きさが200Nであることを確認。

50 kgのブロックが20°のランプに乗っている。($g = 10$ m/s²。) 重力のランプに平行な成分と垂直（法線）成分を計算。

エッフェル塔は324メートルの高さ。基部から500メートル離れて立ったとき、頂上を見上げる仰角は何ですか？

ドローンが高さ100メートルで飛行し、地面上の人を俯角30°で検出。ドローンと人の水平距離は？

測量士がAで丘の頂上を仰角25°で見る。100メートル丘に向かって進んでBに着くと、角度が40°に。高さ $h$ を計算。($\tan 25° \approx 0{,}466$ と $\tan 40° \approx 0{,}839$ を使用。)

鋼製ケーブルが30メートルのアンテナを支えている。地面への接続は基部から12メートル。ケーブルの長さと地面とのなす角度を計算。

長さ1メートルの振り子では、振動の端で糸が垂直から15°をなしている。端が平衡点上のどのくらい高さか計算。

Vの字に曲がった道が上り勾配8%、下り勾配5%を持つ。上昇および下降角度を度で計算。

12メートルのポールが地面に影を投じる。太陽仰角35°で影の長さ、および65°での長さを計算。($\tan 35° \approx 0{,}700$ と $\tan 65° \approx 2{,}145$ を使用。) 2つの結果を比較して差を説明。

斜辺 $c$ の直角三角形で、面積を $c$ と鋭角 $\theta$ の関数として表現。面積が最大になるのはどの $\theta$ の値ですか？

$\alpha = \beta = \theta$ の和公式 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ を使って $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ を証明してください。

解いてください：$\sin\theta + \cos\theta = 1$ for $\theta \in [0°, 90°]$。

ピタゴラスの定理と三角比の定義から $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を証明してください。

すべての鋭角 $\theta \in (0°, 90°)$ に対して $\cos\theta = \sin(90° - \theta)$ を示してください。