第12講 — 単位円と弧度法

$60°$ をラジアンに変換。

$225°$ をラジアンに変換。

$120°$ をラジアンに変換。

$\pi/3$ rad を度に変換。

$7\pi/4$ rad を度に変換。

$1$ rad を度に変換（近似値）。

$[0, 2\pi)$ での動き等価な角度を見つけよ：(a) $11\pi/4$ と (b) $-\pi/6$。

$-150°$ をラジアンに変換。

$\pi/12$ rad を度に変換。

$400°$ をラジアンに変換。$[0, 2\pi)$ での動き等価な角度は？

$\sin(\pi/6)$ と $\cos(\pi/6)$ を計算。

$\sin(2\pi/3)$ と $\cos(2\pi/3)$ を計算。

$\sin(\pi)$ と $\cos(\pi)$ を計算。

$\sin(3\pi/2)$ と $\cos(3\pi/2)$ を計算。

$\sin(7\pi/6)$ と $\cos(7\pi/6)$ を計算。

$\sin(11\pi/6)$ を計算。

$\cos(5\pi/4)$ を計算。

$\sin(5\pi/3)$ を計算。

$\tan(\pi/3)$ を計算。

偶奇性を使って $\cos(-\pi/4)$ を計算し、象限を使って還元。2つの方法が一致することを確認。

$\tan(7\pi/6)$ を計算。

$\cos(29\pi/6)$ を計算。（周期性で還元してから象限を特定。）

$\sin(-13\pi/4)$ を計算。

$\cos^2(\pi/3) + \sin^2(\pi/3) = 1$ を数値的に検証。

偶奇性を使って $\sin(-\pi/4)$ を計算し、象限を使わずに。幾何学的に解釈。

加法公式を使って $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$ を証明。幾何学的解釈を与えよ。

コサイン差公式を使って $\cos(\pi/2 - \theta) = \sin\theta$ を証明。「cosine」という名前をこれが正当化する理由を説明。

加法公式から恒等式 $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ を導け。

$\sin\theta > 0$ かつ $\cos\theta < 0$ の角度 $\theta$ はどの象限？

$\sin\theta = \cos\theta$ となるすべての $\theta \in [0, 2\pi)$ を求めよ。（ヒント：接線がいつ1？）

$(1 + \tan^2\theta)\cos^2\theta = 1$ を $\cos\theta \neq 0$ のすべての $\theta$ で証明。

恒等式 $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ を使って $\sin(5\pi/6)$ を象限なしで計算。

ビニール盤が33 rpmで回転。角速度をrad/sで計算。

振り子が30°の弧を描く。糸の長さが1.5 mの場合の弧長は？

ブラジルの電力網の周波数は $f = 60$ Hz。角速度 $\omega = 2\pi f$ はrad/sで？

産業用モータが1,800 rpmで回転。角速度をrad/sで計算。

自転車の車輪の半径が35 cm。線速度が20 km/h。角速度をrad/sで求めよ。

オシレータの位相は $\theta(t) = \omega t + \varphi$ で、$\omega = 2\pi$ rad/s と $\varphi = \pi/4$。$\theta(0)$ と $\theta(1)$ を計算。$\theta(1)$ の動き等価な角度を $[0, 2\pi)$ で求めよ。

120° 等間隔の3つの単位ベクトルの合計がゼロであることを検証：$\sum_{k=0}^{2}\cos(2\pi k/3) = 0$ と $\sum_{k=0}^{2}\sin(2\pi k/3) = 0$。

挑戦。 N個の単位根の合計がゼロであることを証明せよ：$\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi ik/N} = 0$ （$N \geq 2$）。幾何級数を使う。正多角形の頂点として幾何学的に解釈。