第14回 — 三角方程式と三角不等式

解の構造

サインを含む方程式

$a \in [-1, 1]$ に対する $\sin x = a$： $x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

ここで $\arcsin: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ は主逆関数。

コサインを含む方程式

$a \in [-1, 1]$ に対する $\cos x = a$： $x = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

ここで $\arccos: [-1, 1] \to [0, \pi]$。

タンジェントを含む方程式

$a \in \mathbb{R}$ に対する $\tan x = a$： $x = \arctan a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

ここで $\arctan: \mathbb{R} \to (-\pi/2, \pi/2)$。

一般的なレシピ

三角方程式 $f(x) = 0$ を解くには：

1. 恒等式により基本方程式 $\sin x = a$、$\cos x = a$、$\tan x = a$ に還元する。
2. 区間 $[0, 2\pi)$（または $[-\pi, \pi]$）におけるすべての解を列挙する。
3. $2k\pi$（タンジェントの場合は $k\pi$）を加えて一般化する。