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第15講 — 正弦法則と余弦法則

任意の三角形（直角三角形以外）の解法。測量、航海、物理への応用。

Used in: 高校1年（15歳） · 日本の数学II（図形と計量章） · 米国高校数学（三角法）

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

証明と利用

"The Law of Sines can be used to solve oblique triangles, which are non-right triangles." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.1

"The Law of Cosines is a generalization of the Pythagorean Theorem. We can use it to find a missing side when two sides and the included angle are known." — Stitz–Zeager, Precalculus §11.3

三角形と外接円の表記法

三角形 $ABC$ は半径 $R$ の円に内接している。角が大きいほど、対辺は長い。

どちらの法則を使うか

Definition· 法則選択ガイド

既知条件	求めたい量	使う法則
2角＋1辺（AAS、ASA）	残りの辺	正弦法則
2辺＋対角（SSA）	残りの量（曖昧性あり）	正弦法則
2辺＋挟角（SAS）	第3の辺	余弦法則
3辺（SSS）	ある角	逆向き余弦法則

SSA曖昧ケース（ $a$ 、 $b$ 、 $A$ が与えられ $A < 90°$ のとき）： $h = b\sin A$ を計算する。

$a < h$ ：三角形なし
$a = h$ または $a \geq b$ ：ちょうど 1 つの三角形
$h < a < b$ ：2 つの三角形

三角形の面積

\text{面積} = \tfrac{1}{2}ab\sin C

what this means · 2辺とそれを挟む角から面積を求める。C = 90° のときは「底×高/2」に戻る。

\text{面積} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

what this means · ヘロンの公式：3辺だけから面積を求める（角は不要）。半周長：s = (a+b+c)/2。

解法例

難度が上昇する 5 つの例 — 最も直接的（AAS 正弦法則）から実世界のモデル化（ロボットアームの逆運動学）まで。各例は元の問題の出典を示す：問題は常に公開されている教科書から来ている。

Example— 1· AAS 正弦法則（応用）

問題： 三角形 $ABC$ で、 $A = 30°$ 、 $B = 45°$ 、辺 $a = 8$ 。辺 $b$ を計算せよ。

戦略： 2 つの角と対辺が 1 つ（AAS ケース）ある。正弦法則が直接解く：比を立てて $b$ を隔離。

解法：

正弦法則を適用する。 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ 、つまり $\dfrac{8}{\sin 30°} = \dfrac{b}{\sin 45°}$ 。
特殊値を代入。 $\sin 30° = 1/2$ 、 $\sin 45° = \sqrt 2 / 2$ 。
$b$ を隔離。 $b = 8 \cdot \dfrac{\sin 45°}{\sin 30°} = 8 \cdot \dfrac{\sqrt 2 / 2}{1/2} = 8\sqrt 2 \approx 11{,}31$ 。

$b = 8\sqrt 2 \approx 11{,}31.$

検証： $B > A$ なので $b > a$ であるべき。実際 $11{,}31 > 8$ 。チェック。

出典。 OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §10.1 — CC-BY 4.0 ライセンス。

Example— 2· SAS 余弦法則（応用）

問題： 三角形の辺 $a = 5$ 、 $b = 7$ 、挟角 $C = 60°$ 。第 3 の辺 $c$ を計算せよ。

戦略： 2 辺と挟角（SAS）がある。正確に余弦法則を使って挟角の対辺を求めるケース。

解法：

法則を適用。 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ 。
代入。 $c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot \tfrac{1}{2} = 74 - 35 = 39$ 。
ルートを取る。 $c = \sqrt{39} \approx 6{,}24$ 。

検証： $c$ は $|a - b| = 2$ と $a + b = 12$ の間にあるべき（三角不等式）。 $6{,}24 \in (2, 12)$ 。チェック。

出典。 Stitz–Zeager — Precalculus §11.3 — CC-BY-NC-SA ライセンス。

Example— 3· 逆向き余弦法則 — 3 辺から角を求める（中級）

問題： 三角形の辺 $a = 5$ 、 $b = 6$ 、 $c = 7$ 。角 $C$ を計算せよ。

戦略： SSS — 3 辺がわかっている。 $\cos C$ について余弦法則を並べ替えて $\arccos$ を適用。

解法：

余弦法則を並べ替える。 $\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ 。
代入。 $\cos C = \dfrac{25 + 36 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ 。
arccos を適用。 $C = \arccos(0{,}2) \approx 78{,}46°$ 。

$C \approx 78{,}46°.$

検証： 三角形はほぼ二等辺で $c$ が最大辺なので、 $C$ が最大角であると予想。余弦法則から： $A = \arccos((36+49-25)/(2\cdot 6 \cdot 7)) = \arccos(60/84) \approx 44{,}42°$ 、 $B \approx 57{,}12°$ 。和： $44{,}42 + 57{,}12 + 78{,}46 \approx 180°$ 。チェック。

出典。 OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §10.2 — CC-BY 4.0 ライセンス。

Example— 4· SSA 曖昧ケース（上級）

問題： 三角形で $a = 5$ 、 $b = 8$ 、 $A = 30°$ 。これらの条件を満たす三角形は何個？すべて求めよ。

戦略： SSA は曖昧ケース。 $h = b \sin A$ を計算して $a$ と比較し、0、1、または 2 つの三角形があるか決定。次に正弦法則を各ケースに適用。

解法：

$h$ を計算。 $h = b \sin A = 8 \cdot \sin 30° = 8 \cdot 0{,}5 = 4$ 。
解の個数を決定。 $h = 4 < a = 5 < b = 8$ なので、2 つの三角形がある。
正弦法則を適用。 $\dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin A}{a} \Rightarrow \sin B = \dfrac{8 \cdot 0{,}5}{5} = 0{,}8$ 。
2 つの角 $B$ を求める。 $B_1 = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13°$ と $B_2 = 180° - 53{,}13° \approx 126{,}87°$ 。
各ケースで $C$ を計算。 $C_1 = 180° - 30° - 53{,}13° = 96{,}87°$ 。 $C_2 = 180° - 30° - 126{,}87° = 23{,}13°$ 。
各ケースで $c$ を計算。 $c_1 = a \cdot \sin C_1 / \sin A = 5 \cdot \sin 96{,}87° / 0{,}5 \approx 9{,}93$ 。 $c_2 = 5 \cdot \sin 23{,}13° / 0{,}5 \approx 3{,}93$ 。

検証： 各三角形で $A + B + C = 180°$ で、三角不等式が成り立つ（すべての辺が正で $|a-b| < c < a+b$ ）。両方ともチェック。

出典。 Stitz–Zeager — Precalculus §11.2 — CC-BY-NC-SA ライセンス。

Example— 5· 測量 — 第 3 頂点経由の距離（実世界モデル化）

問題： 2 つの点 $AB$ 間の距離を測るため（川で隔たれている）、測量士は岸に点 $C$ を選ぶ。 $AC = 50$ m、 $BC = 70$ m、角 $\hat{ACB} = 60°$ 。 $AB$ を計算せよ。

戦略： 古典 SAS シナリオ — 2 つの辺 $AC$ と $BC$ が既知で、その間の角がある。余弦法則が対辺 $AB$ に直接解く。

解法：

配置を特定。 三角形 $ABC$ で辺 $b = AC = 50$ m、 $a = BC = 70$ m、それらの間の角 $C = 60°$ 。第 3 の辺 $c = AB$ が欲しい。
余弦法則を適用。 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 70^2 + 50^2 - 2 \cdot 70 \cdot 50 \cdot \cos 60°$ 。
計算。 $c^2 = 4900 + 2500 - 7000 \cdot 0{,}5 = 7400 - 3500 = 3900$ 。
ルートを取る。 $c = \sqrt{3900} = 10\sqrt{39} \approx 62{,}45$ m。

$AB \approx 62{,}45\ \text{m}.$

検証： 角 $C$ が鋭角で辺 $a, b$ が著しく異ならないから、対辺は比較可能に大きいであるべき。 $62{,}45$ は $|70-50| = 20$ と $70+50 = 120$ の間、三角不等式内。チェック。

出典。 OpenStax — University Physics Vol. 1, cap. 2 — CC-BY 4.0 ライセンス。

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 2Modeling 12Proof 3

Ex. 15.1Application
三角形で $a = 8$ 、 $A = 30°$ 、 $B = 45°$ 。 $b$ を計算せよ。
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Ex. 15.2Application
三角形で $a = 12$ 、 $A = 50°$ 、 $B = 70°$ 。 $b$ と $c$ を計算せよ。
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Ex. 15.3Application
三角形で $a = 5$ 、 $b = 8$ 、 $A = 30°$ 。何個の三角形が可能か？
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Ex. 15.4Application
三角形で $b = 10$ 、 $B = 45°$ 、 $A = 60°$ 。 $a$ を計算せよ。
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Ex. 15.5Application
三角形 $ABC$ で、 $A = 40°$ 、 $B = 80°$ 、 $a = 7$ 。 $C$ と $c$ を計算せよ。
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Ex. 15.6Application
三角形で $a = 6$ 、 $A = 35°$ 、 $B = 50°$ 。面積を計算せよ。
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Ex. 15.7Application
正弦法則： $a/\sin 30° = c/\sin 90°$ 。 $a = 4$ のとき、 $c$ を計算せよ。
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Ex. 15.8Application
三角形で、 $a = 10$ 、 $b = 7$ 、 $A = 90°$ 。正弦法則で $\sin B = 0{,}7$ であることを確認せよ。
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Ex. 15.9Application
三角形： $A = 50°$ 、 $a = 12$ 。外接円の半径 $R$ を求めよ。
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Ex. 15.10Understanding
正三角形（ $A = B = C = 60°$ ）で、 $a = b = c$ であることを示せ。
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Ex. 15.11Application
三角形で $a = 5$ 、 $b = 7$ 、 $C = 60°$ 。 $c$ を計算せよ。
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Ex. 15.12Application
三角形で $a = 8$ 、 $b = 6$ 、 $C = 90°$ 。 $c$ を計算せよ。（ピタゴラスに戻ることを確認。）
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Ex. 15.13ApplicationAnswer key
三角形で $a = 4$ 、 $b = 3$ 、 $C = 120°$ 。 $c$ を計算せよ。
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Ex. 15.14Application
三角形で $a = 5$ 、 $b = 6$ 、 $c = 7$ 。 $C$ を計算せよ。
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Ex. 15.15ApplicationAnswer key
三角形で $a = 10$ 、 $b = 12$ 、 $c = 15$ 。3 つの角を求めよ。
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Ex. 15.16Application
三角形で、 $a = 12$ 、 $b = 8$ 、 $A = 80°$ 。正弦法則で $B$ を求め、次に $c$ を計算せよ。
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Ex. 15.17Application
三角形 $ABC$ ： $a = 4$ 、 $b = 5$ 、 $c = 6$ 。ヘロンの公式で面積を計算せよ。
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Ex. 15.18Application
辺の長さが $\ell$ の正三角形で、余弦法則を使ってそれぞれの角が $60°$ であることを示せ。
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Ex. 15.19ApplicationAnswer key
辺 $7, 24, 25$ の三角形。余弦法則で直角三角形であることを確認せよ。
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Ex. 15.20UnderstandingAnswer key
$C \to 0$ のとき、余弦法則 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ は何に傾くか。幾何学的に解釈せよ。
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Ex. 15.21ModelingAnswer key
あなたは東に 5 km、次に北に $60°$ 曲がって 3 km さらに歩く。出発地からの距離は？
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Ex. 15.22Modeling
船が港を出て、北西に 12 km、次に北東に 8 km 航海する。出発地からの距離は？
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Ex. 15.23ModelingAnswer key
ドローンが 2 つの点 $A$ と $B$ を高さ角 $50°$ と $70°$ で観察（同じ放射線上）。ドローンの高さ 200 m。 $AB$ を計算せよ。
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Ex. 15.24Modeling
三角形の土地の 2 辺が 80 m と 100 m で、その間の角が 75°。第 3 辺の長さは？
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Ex. 15.25Modeling
サッカー場で、攻撃手が 6 メートルのゴールを $20°$ の視角で見る位置からシュート。ゴール－攻撃手距離を推定（角が対称と仮定）。
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Ex. 15.26Modeling
測量：川で隔たれた 2 点 $AB$ 間の距離を測る。点 $C$ にいて、 $\hat{ACB} = 60°$ 、 $AC = 50$ m、 $BC = 70$ m。距離 $AB$ ？
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Ex. 15.27Modeling
天文学：年差が 1 秒角 = 1 パーセク ≈ 206,265 AU。 $\tan(1'') \cdot d = 1$ UA で確認せよ。
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Ex. 15.28Modeling
灌漑用三角形の辺が 100 m、120 m、80 m。面積を計算せよ。
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Ex. 15.29Modeling
逆運動学：2 つのセグメント $\ell_1 = 30$ cm、 $\ell_2 = 25$ cm のロボットアームが距離 $r = 40$ cm の点に到達する。セグメント間の角は？
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Ex. 15.30ModelingAnswer key
ボート 5 km/h、垂直な川の流れ 3 km/h の結果速度：大きさと角度？
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Ex. 15.31ModelingAnswer key
飛行機が時速 500 km で進路 NE 60° で飛ぶ。風が時速 100 km で東から吹く。結果速度を推定。
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Ex. 15.32Modeling
2D GPS で、2 つの衛星 $(0, 100)$ と $(50, 80)$ km があなたを 30° と 45° の角度で見る。三角測量を記述（計算しない）。
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Ex. 15.33Proof
鋭角三角形について、頂点 $C$ の高さを使って正弦法則を証明せよ。
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Ex. 15.34Proof
任意の三角形について、内積を使って余弦法則を証明せよ。
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Ex. 15.35Proof
余弦法則 + 面積 = $\tfrac{1}{2} ab \sin C$ を使ってヘロンの公式を証明せよ。
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出典

正確にこのテキストと練習を支えた本のみ。

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson 他（OpenStax）· 2022、第 2 版 · EN · CC-BY 4.0 · §10.1–10.2：正弦法則と余弦法則。第一次出典。
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz、Jeff Zeager · 2013、v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §11.2–11.3：非直角三角形。
University Physics Vol. 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · 第 2 章：ベクトルとベクトル和。ブロック C（モデル化）の第一次出典。
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §0.7：応用三角法。