第16講 — 数列

$a_n = 2n + 1$ の最初の5項を書け。

$a_n = (-1)^n / n$ の最初の5項を書け。

$a_n = n^2 - n$ の最初の5項を書け。

$1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ の一般項を見つけよ。

$2, 5, 10, 17, 26, \ldots$ の一般項を見つけよ。

$1/2, 1/4, 1/8, 1/16, \ldots$ の一般項を見つけよ。

$-1, 1, -1, 1, -1, \ldots$ の一般項を見つけよ。

$a_n = 3n - 1$ に対して $a_{20}$ を計算せよ。

$a_n = 2n - 4$ に対して $a_n = 100$ となる $n$ はどれか。

数列 $a_n = 5n - 1$ の項のうち、200より小さいものはいくつあるか。

数列：$a_1 = 2$、$a_{n+1} = 3 a_n + 1$。最初の5項を計算せよ。

Fibonacci：$F_1 = F_2 = 1$、$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$。$F_{10}$ まで計算せよ。

数列：$a_1 = 1$、$a_{n+1} = a_n + 2n$。$a_5$ まで計算せよ。

Fibonacci 数列が $F_n^2 - F_{n-1} F_{n+1} = (-1)^{n-1}$（Cassini 恒等式）を満たすことを示せ。$n = 2$ と $n = 3$ について検証せよ。

$a_1 = 1$、$a_{n+1} = 2 a_n$ に対して明示的な公式を見つけよ。

数列：$a_1 = 5$、$a_{n+1} = a_n - 2$。一般項 $a_n$ を決定せよ。

$a_1 = 1$ かつ $a_{n+1} = 2 a_n + 1$ を満たす $a_n = 2^n - 1$ を帰納法で示せ。

数列 $a_1 = 1$、$a_{n+1} = (a_n + 2/a_n)/2$（$\sqrt 2$ の Newton 反復）。$a_2, a_3, a_4$ を計算し、$\sqrt 2 \approx 1{,}4142$ と比較せよ。

数列 $a_{n+1} = a_n^2 - 2$ で $a_1 = 3$ が爆発する（無限大に行く）ことを示せ。

「$n$月目のウサギのペアの数」（Fibonacci）の数列をモデル化し、漸化式を正当化せよ。

$a_n = (n+1)/n$ が減少で、1以上の下界を持つことを示せ。

$a_n = 2 - 1/n$ が増加で、2以下の上界を持つことを示せ。

数列 $a_n = (-1)^n n$ は有界か。増加か。

$a_n = 1/n^2$ が減少で、1によって有界であることを示せ。

どの $n$ で $a_n = 1/n < 0{,}001$ となるか。

$a_n = (1 + 1/n)^n$ が増加であることを示せ。（難 — 数 $e$ のプレビュー。）

数列 $a_n = \sin(n)$（$n$ はラジアン）は有界か。収束するか。

数列 $a_n = n/(n+1)$ について、どの $n$ から $a_n > 0{,}99$ となるか計算せよ。

$n \to \infty$ のとき、$a_n = 1/n$ はどの値に「近づく」か。

$n \to \infty$ のとき、$a_n = (n + 5)/n$ はどの値に近づくか。

数列 $a_n = (-1)^n$ は収束するか。直感的に正当化せよ。

$a_n = (3n^2 + 2)/(n^2 + 1)$ はどの値に近づくか。

数列 $a_n = 2^n$ は収束するか。正当化せよ。

数列 $a_n = (1/2)^n$ は何に近づくか。最初の4項を計算して説明せよ。

冷えるコーヒーの温度をモデル化：各分 $T_n = 65 \cdot 0{,}9^n + 25$。どの値に向かうか。

$a_n = \dfrac{2n}{n^2+1}$ の最初の5項を書け。

数列 $a_n = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \ldots + \dfrac{1}{n^2}$（部分和）。最初の5項を書け。

帰納法で $F_1^2 + F_2^2 + \ldots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ を示せ。